a'x1— 3fla*x4-1Ca
1 }x' — Sfia.r’-f.S 1 0’x'— 3üa'r4- 1 «a*
PUISSANCES ET RACINES
Le premier terme de la racine est le triple du
carré de ce premier terme est 12x\ de sorte que le premier terme du reste étant le deuxième terme — 36aa:5 du polynôme,
le second terme de la racine est égal à
— 36 ax' ïix'
3 ax. Le
triple du premier terme de la racine plus le deuxième est 6r* — 3 ax; on l'a multiplié par le deuxième, ce qui a donné — 18aj~! -|- Qn'x1 ; on a ajouté ce produit à 12x*, on a multiplié la somme 1 2æ* — 1 8^ + 9a*x’ par — 3 ax , et on a retranché le produit du premier reste. La division du premier terme 48a*x* du second* reste par 12x* a donné le troisième terme 4n* de la racine. On a alors formé le triple du carré de la somme des deux premiers termes de la racine , en ajoutant 9 a*x? avec les pol y nomes — 1 8ajJ -f- Qa’x’ et 1 2j;1 — 1 8 ax* -(- 9a*oJ ; puis on a ajouté à de triple carré le produit de 6xf— 9ax~t-4a?, triple de la somme des deux premiers termes de la racine et du troisième, par ce troisième , et enfin on a retranché du deuxième reste le, produit de la somme ainsi obtenue t2x* — 3Qax3~{~5lcPx* , — 36o5a; -j-16a‘, par le troisième terme de la racine. On a trouvé zéro pour reste , et on en a conclu que 2x' — 3ax -f- 4a* est la détermination arithmétique exacte de la racine du polynôme proposé.
g X. RACINE D'UN DEGRÉ QUELCONQUE DES POLYNOMES.
538. t,r Principe. Si un polynôme et sa ram* puissance sont ordonnés par rapport aux puissances d’une même lettre, le premier terme de la puissance est sans réduction la m” puissance du premier terme du polynôme.
En effet , le premier terme du produit de m polynômes ordonnés est sans réduction le produit des premiers termes de ces polynômes (88); or, si les polynômes sont tous égaux, leur produit devient la mm puissance de l’un d’eux , et le premier terme de ce produit devient en même temps la m m* puissance dû premier terme du polynôme.
t 51». 2* Principe. Lorsqu'un polynôme et sa m™* puissance
sont ordonnés par rapport aux puissances d'une même lettre , si de cette puissance on soustrait ta m™ puissance de la somme des n premiers termes du polynôme , le premier terme du reste sera sans réduction égal à m fois la (m — l)0’* puissance du premier terme de ce polynôme multiplié par son (n-f-1 )m* terme.
Ea effet , en faisant usage des notations adoptées précédemment, l’expression. du reste sera
wAm-'B -f ... + -f- ... -f- B™,
en représentant le coefficient du terme général par C*. Or, si on compare ce terme général au premier, on voit qu'ils ont le facteur commun A"~’B, mais l’autre fticteur ni A"-1 du premier terme est, par rapport à la lettre ordonnatrice , d’urt degré plus élevé que l’autre facteur C^B"-1 du terme général , puisqu’en siipposant qu’on ait ordonné suivant les puissances décroissantes d'une même lettre , A est d’un degré plus élevé que B ; donc le degré du polynôme wiAm~'B surpasse celui du polynôme C„A"*-*B" , et cela, quelque valeur plus grande que l’unité que l’on attribue à n; donc le premier terme de mA^'B sera le premier terme du restp; mais il provient sans réduction de m fois la (m — l)"" puissance du premier terme de A, o’està-dire du premier terme du polynôme , par le premier terme de B , c’est-àrdire par Iç ( n -f- 1 )““ terme de ce polynôme ; donc, etc.
560. En répétant les raisonnements que nous avons faits en exposant la théorie de la racine carrée et celle de la racine cubique des polynômes , on formera la règle générale suivante :
Pour extraire la racine m™ d'un polynôme, ordonnez-le par rapport aux puissances d’une même lettre , extrayez la racine m"1' de son premier terme, et vous aurez le premier terme de la racine demandée. Retranchez ensuite du polynôme la m"’* puissance de ce premier terme , et en divisant le premier terme du reste, c’est-à-dire le deuxième terme du polynôme , par m fois ta (m— -lf* puissance du premier terme de la racine , vous obtien-
PUISSANCES ET RACINES
drez le deuxième terme de cette racine. Retranches alors du polynôme la m,uc puissance de la somme des deux termes trouvés, et divisez le premier terme du reste par m fois la fm — 1)"* puissance du premier terme de la racine. Vous obtiendrez ainsi le troisième terme, et vous continuerez de cette manière jusqu’à ce que vous soyez arrivé à un reste nul, auquel cas le polynôme trouvé est exactement la racine m”* demandée ; ou bien à un reste tel qu'en divisant son premier terme par m fols la (m — 1“*) puissance du premier terme trouvé à la racine, vous soyez conduit à écrire à cette racine un terme dans lequel l’exposant de la lettre ordonnatrice serait plus petit ou plus grand que la m"* partie de celui qu'a cette lettre , dans le dernier terme du polynôme, selon que Von aura ordonné par rapport aux puissances descendantes ou ascendantes d'une même lettre. On sera sûr alors que le polynôme proposé n'est pas une mm' puissance parfaite.
On reconnaît d’ailleurs immédiatement qu’un polynôme n’est pas une puissance parfaite du degré m , 1° lorsque son premier terme étant une puissance exacte de ce degré, son dernier terme n'en est pas une; 2° lorsque le polynôme étant entier, le premier terme d'un reste n ’est pas exactement divisible par m fois la (m — l)ra' puissance du premier terme trouvé à la racine (348).
g XI. DÉVELOPPEMENT DE , (a-(-fe \ )**
301. Considérons l’expression imaginaire (a-\-b y/— F)" ; si nous la développons par la formule du binôme, il viendra :
(a 4- by^r = am + ma^'bi/— I + ”(w~1.) «-V (V'^T;«
+t?T1xVx"73XVi-^^+^
. » DBS QUANTITÉS* ALCBBRiyl KS. . • 269
Rappelons-nous que l'on a (286) :
(+v^:rï)'= + v/=:r; 4-^=1)*=-!;..
.(+' v'UT/^-v/ZT; +(v/=T)‘= + 1;
et qu’en formant les puissances successives de -J- y'— 1 on retrouve périodiquement
le développement deviendra donc :
(a -f- b yCT)- = a" 4- ma"-' b yf—X
mm — l)(/n — 2) »>(/«— 1X»<— 1)'m— 3)
| w(w— l)(m-2)(w-3;(m— 4) etf
On peut grouper d’une part tous les termes réels, de l’autre tous les termes imaginaires, et on aura :
en posant : ’ .
B = ma'—'b — - — — ^ — — - «— *6*
+ ”Km— lX»»-2)(w— 3Xw— i) e(c
Dans chacune de ces deux expressions, les termes sont alternativement positifs et négatifs; la première ne renferme que les puissances paires de b, la seconde renferme toutes les puissances impaires.
Si l’on pose
a — p cos <•> 1 6= p sin <» j '
doù
270 PUISSANCES ET RACINES DÈS QUANTITÉS ALGÉBRIQUES, viendra :
a -f- b\J — 1 = p(cosw -j- y' — 1 sin ta)
(a + à v — 1 )" = p" (Costa -f- \J — 1 sin<a)“.
Or, d’après le théorème de Moivrk ( Trigonométrie , 40),
(cos ta \J — 1 sin w)m = cosww -f- \J — 1 sinmta ;
dune :
(fl -j- b\j — 1 )» = p’“ (cos «Ua -f- \J — 1 sin Mita).
Cette transformation des expressions imaginaires est souvent employée; nous y reviendrons en traitant de la résolution trigonôipétric|ue des équations binômes.
