PROGRESSIONS PAR DIFFÉRENCES
362. On appelle progression par différences ou arithmétique «ne suite de nombres tels que chacun d'eux surpasse celui qui le précède ou en est surpassé d’une quantité constante qu’on appelle raison de la progression.
363. Un terme quelconque est égal au premier augmenté ou diminué d’autant de fois la raison qu’il y a de termes avant lui. Ainsi, soient a le premier terme et r la raison de la progression
soit l le terme qui occupe le »*• rang , il aura pour exprès- * sion : .
364. Insérer des moyens différentiels entre deux nombres donnés, c’est trouver des nombres qui forment une progression par différences dont les deux nombres donnés soient les deux extrêmes. On obtient la raison de cette progression en divisant la différence des deux nombres donnés par le nombre des moyens à insérer plus un.
Ainsi, soient o et l les deux nombres donnés, m le nombre
272 l’HOCRKSSIO.NS KT SÉRIES.
des moyens à insérer ; la raison r de la progression sera donnée per la formule :
508. La somme des termes d’une progression par différences est égale à la moitié du produit qu'on obtient en multipliant la somme des deux extrêmes par le nombre des termes. On a donc, en appelant s cette somme :
Si on remplace / par sa valeur en fonction de a et r [I] , il viendra
__(2a-f (n — l)rjn
Si l’on demande, par exemple, la somme des n premiers nombres 1, 2, 3, 4, .. n, on fera a = 1, / = «, e l l’on
trouvera s = — ! . .
De même, pour avoir la somme des il premiers nombres impairs 1, 3, 5, 7 ... 2n — J, on fera «= 1, l=2n — 1, et il
viendra s — — = n’, c’est-à-dire te carré du nombre des
termes additionnés. Ce résultat fournit le moyen de trouver deux carres dont la somme soit elle-même un carré. Il suffit, en effet, de prendre dans la progression 4 1 . 3. 5 . 7 . 9 . etc., un tenue 2n — 1 = a* qui soit un carré parfait, et d’y ajouter le carré (n — 1)’ du nombre des termes qui le précèdent; car cette somme sera égale au carré n* du nombre n qui exprime le rang du terme carré que l’on a choisi :
ou bien :
PROoREsSMJ.VS ET SERIES. 273
puisque a’ = 2« — 1. Telle est la formule qui résoudra le problème, a étant un nombre impair quelconque.
566. Les deux équations [1] et [21 ont lieu entre les cinq quantités a, r, /, n et de sorte que si l’on donne trois quelconques de ces quantités, il sera facile de calculer les deux autres. Or, comme avec ces cinq quantités on peut former seulement dix combinaisons (525), savoir :
«et r, a et /, a et n, «et s, ret /, ;• et n, rets, l et n, /et s, nets,
on voit qu’il y a ainsi dix problèmes à résoudre sur les progressions par différences. Nous ne nous occuperons que du huitième. . . .
Problème; Étant donnés a, r et s, on demande 1 et n.
On remplacera dans [2], / par sa valeur donnée par [1], et il viendra :
d’où
Ainsi, en résolvant cette équation, on obtiendra la valeur de n, et en la substituant dans la formule [1] on aura celle de L n étant un nombre entier positif, il faudra, pour que le problème soit possible, que les racines de l’équation [-4] soient réelles, et qu'il y en ait au moins une qui soit positive et entière. Si r et s sont de signes contraires, il faudra, pour que les racines de l'équation [4] soient réelles et positives , que l'on ait
(2a — r)*-)-8r«>0 et 2a — r<0;
et si de plus les deux racines de l’équation [4] sont entières le problème aura deux solutions.
Si r et s sont de mêmes signes , le dernier terme de
l’équation £4] sera négatif, et les deux racines serortt réelle» et de signes contraires; de sorte que si la racine positive est entière le problème aura une solution.
Si la racine négative est aussi entière, on pourra se proposer
274 PROGRESSIUS» ET SERIES.
d’en trouver l'interprétation. Pour y parvenir, on changera n en — n dans la formule [3], ce qui donnera • ; .
- f 2fl+( — n — 1 ) r J ( — n) J — 2 a + (» -f- 1 ) r | w
en changeant les signes des deux facteurs du numérateur, ce qui n’altère pas sa valeur. Ainsi il faudra, en se reportant la formule [2], que — 2a + [n -f- l)r représente la somme des deux extrêmes de la progression. Mais si l’on désigne par x le pre-. mier de ces termes, cette somme aura pour expression 2a; -(- (n — l)r ; donc on devra avoir
2x-J-(» — l)r= — 2a-|-(n-f- l)r, d’où x—~-(a — r);
de sorte qu’il faudra faire commencer la progression par
567. Trouver la somme des puissances semblables des termes d'une progression par différences.
Soient la progression ~a.'b.c.d....k. /, et r sa raison; on a :
fr = a-f r, c=b+r; d = c + r,
Si nous élevons les deux membres de chacune de ces équations à la puissance (m -f- 1)“', il viendra (555) :
c-^» =(6+r)«+1 = 6m+'+ (m + 1 )6mr+ ,
d**1 = (C-f- rff*1 = c*+4-{' (m -f 1 'c”r + — cm~ 'r'‘ ’ ‘ 4". >JK+' »
Ajoutons toutes ces équations membre à membre, et désignons
par n le nombre des termes®, A, e,d, A; U viendra, en posant Si = ®4-d-f-c-f-rf-f...-f * ,s,=a*-l-A,-f e»-f
S. = af‘+
r~> =a~'+ (rn 4- i)r Sm +Ç"£KNfaS<^ -f .... 4- »r~‘. '
Cette équation fera connaître Sm en fonction de 8„„ , , S„t....S,,S,. En y faisant successivement wi=l,=2,=3Ietc., on obtiendra successivement S, , puis S»; puis S3.
Supposons, par exemple, que la progression soit la suite naturelle des nombres ;
On a dans ce cas : a=l, / = »-)- 1, r=l, et la formule générale devient: . ,
(»+ ir« toi 4-(« + 1) S„ 4- fi±ÿ5‘a^- 4- +„.
Faisons m = 1 ; nous aurons :
d’où l’on tire : .
formule déjà connue (368).
Faisons m = 2, il viendra :
d’où l’on tire :
ou, en remplaçant St par sa valeur :
308. Sommation des piles de boulets. Les formules [5] et [6] permettent de résoudre facilement ce genre de questions.
276 rROCHESSIONS et sèmes.
Pile triangulaire. La base d’une pile triangulaire est formée par des boulets rangés en triangle équilatéral, la première ràngée contenant I boulet -, la seconde 2, la troisième 3, la »m* n; le hombre de boulets contenus dans la base est donc :
Le côté du triangle qui forme la tranche immédiatement supérieure contient 1 boulet de moins, c’est-à-dire ( n — 1) boulets ; le nombre de boulets de cette tranche est donc, eu changeant n en (n — 1) :
1 -f 2 +3 + ■ • v -Hit -1) = ft- - ^ j~.fr ~ 1 Le nombre de boulets de la tranche suivante est de même : 1 + 2 -f 3 -f 2)= ± 2), *‘
et ainsi de suite jusqu’à la tranche supérieure qui en contient :
lssjl±i
Le nombre total des boulets contenus dans la pile triangulaire est donc :
i (»— !)*+(»— 1) , (n— 2j,-f(»— 2) , , l'-fl,
ou bien :
c’est-à-dire :
^ Sj . Si n(« -f 1 ) (2n -fl) ^ n(» -f 1) 2 ' 2
ou enfin :
njn -f t ) (rt 4- 2)
Pile à base carrée. La base est un carré qui contient n* boulets, si » est le nombre de boulets contenus dans le côté de ce carré. La tranche suivante contiendra (» — I)1 boulets, la troisième (» — 2)*, et enfin la dernière n'en contient qu’un seul ou 1*. Le nombre total des boulets de la pile est donc ; *
Pile à base rectangulaire. La pile rectangulaire a pour base un rectangle et se termine à sa partie supérieure par uno file de boulets. Soit (p + 1) le nombre de boulets contenus dans cette file. La tranche immédiatement au-dessous se compose dé 2 files contenant chacune p + 2 boulets, elle contient donc 2(p + 2) boulets; de môme la tranche suivante se compose de 3 files de (p -f- 3) boulets chacune et contient 3 (p+ 3) boulets; il en est de même, jusqu’à la base qui est composée de n files de (p + «) boulets chacune et contient n(/i + «) boulets. Le nombre de . boulets contenus dans la pile rectangulaire sera donc : - .
ou bien : .
c’est-à-dire : ' • - • -
d'où enfin : ; . ■
[Nous retrouverons plus loin les formules précédentes comme applications du calcul des différences finies. ]
PROGRESSIONS PAR QUOTIENTS.
509. On appelle progression par qcotients ou c.kométriqle une suite de nombres tels que chacun d’eux est égal à celui qui
PftOORISSlONS BT SÉHiES.
le précède multiplié par une quantité constante , qu'on appelle raison de la progression. La progression est croissante ou décroissante , suivant que la raison est plus grande ou plus petite que l’unité. ‘ .
570. Un terme quelcom/ue est égal au premier multiplié par , la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent. Ainsi , soient a le premier terme et q la raison de la progression
H a : aq ■: aq*: a<f...r\
le terme l qui occupe le nm* rang aura pour expression :
. • / = aç"-‘ '• [1].
571. Insérer des moyens proportionnels entre deux nombres donnés, c’est trouver des nombres qui forment une progression par quotients dont les deux nombres donnés sont les deux extrêmes. On obtient lu raison de cette progression en divisant le plus grand nombre par le plus petit , et extrayant du quotient une racine (T un degré égal au nombre des moyens à insérer plus un.
Ainsi , soient a et l les deux nombres donnés , m le nombre des moyens à insérer, la raison q de la progression sera donnée par la formule :
572. Pour calculer la somme des termes d’une progression croissante par quotients , il faut multiplier son dernier terme par la raison , retrancher du produit le premier terme de la progression , et diviser le reste par l'excès de la raison sur l’unité. On a ainsi, en désignant cette somme par s :
Ig — a 9—1
Si l’on remplace l par sa valeur en fonction de a et q [1], il viendra :
aq' — a g' — L
Cette formule peut se vérifier a posteriori; en effet , si l’on effectue ia division de q' — 1 par q— t (79), on trouvera :
aq'~x + •••• + + + « . •
c’est-à-dire tous les termes de la progression,
575. Si la progression est décroissante , il faut du premier terme retrancher le produit du dernier multiplié par la raison , et diviser le reste par l'excès de l'unité sur la raison. On aura donc dans ce cas : . » / . -,
,a — lq
<=lî=f-
374. Dans une progression décroissante, le dernier terme est d’autant plus petit qu’il est plus éloigné du premier c’està-dire que le nombre des termes sera plus considérable , et il tend verS zéro quand le nombre de ces termes tend vers l’infini ( Arith ., 333). Donc, en prenant un nombre de termes suffisamment grand, la valeur de /, et , à plus forte raison , cefle du produit Iq {q est une fraction) sera assez petite pour que la quantité a — Iq diffère de a d’aussi peu qu’on voudra ; de sorte a — Iq
que la quantité
différera elle-même d’aussi peu qu’on
voudra de la quantité - — -. Cette dernière quantité est donc
une limite dont la somme des termes approche d'autant plus qu'on la compose d’un plus grand nombre de termes, mais qu’elle ne peut atteindre qu’autant que la progression se prolonge à l’infini ; c’est alors seulement que son dernier terme l est nul, et que par conséquent le produit Iq devient aussi nul. Donc, pour calculer la somme des termes d’une progression par quotients décroissante à l'infini, il faut diviser son premier terme par l’excès de l’unité sur la raison ; ce qui donne l’expression :
[fl-
