On peut, comme pour les progressions par différences

se proposer dix problèmes à résoudre (560; sur les progressions par quotients au moyen des équations [1] et [2], La résolution du deuxième, du quatrième, du septième et du neuvième ne présente aucune difficulté; le premier et le cinquième dépendent d’équations d'un degré supérieur nu second si n>3; quant aux quatre suivants , ils présentent une application du calcul des logarithmes.

Étant donnés q, 1, s, calculer net n.

De l'équation [2] on lire immédiatement

a=lq — s{q — 1);

substituant dans l’équation [I]., on trouvera

l = \lq — s(q— Dîy-',

d’où , en prenant les logarithmes des deux membres ,

log l — log \lq s(q l)j + (» — l)logç; et par suite

„ i , log/— logjfy — s(g — 1)|

■ log q

Etant donnés a, I et s, trouver q et n.

• On tire de l’équation [2]

mettant cette valeur de q dans [I] , il viendra

'HSP

d’où , en prenant les logarithmes ,

log / = loga + (n — 1) (log (s — a) — log (j ■ et parlant ,

log/ — loga

log { s — 0) — log (s -r- T;

progressions et séries. 581

Étant donnés a, q, s, calculer 1 et n.

L’équation [2] donne

Je substitue cette valeur de l dans l'équation [1] , et je trouve successivement

— ■ — ; = aa1 .

log je -f- [q — l)*i — log? = loga.-f (»— 1) log? , l°g !« + (?“ l)*l = l°g« + nlog?.

log : « + (?— 1)*} — log a

log?

Etant donnés a , q , I , trouver s et n.

L’équation [2] donne immédiatement la valeur de s . Quant à celle de n, on la tire de l’équation [I] en prenant les logarithmes des deux membres. On trouve ainsi

log/=loga-j-(n — l)log?, d’où n = 1 -flog^~^a. g II. SÉRIES.

«■576. On appelle série une suite de termes en nombre illimité qui dérivent les uns des autres suivant une loi déterminée.

Une série est dite convergente , lorsqu’il existe une limite dont la somme de ses termes s’approche indéfiniment à mesure que l’on en considère un plus grand nombre ; et cette . limite est ce qu’on nomme la somme de la série. Lorsque la somme d’un nombre quelconque de termes consécutifs ne converge vers aucune limite fixe , on dit que la série est divergente ; de pareilles séries ne sont d’aucune utilité dans l’analyse.

377. De la définition des séries convergentes , il résulte d'abord , comme caractère général , qu’un* série ne peut avoir de somme, c’est-à-dire être convergente, si ses termes ne

sont pas susceptibles de décroître indéfiniment. Ainsi , en appelant un le terme général de la série

»o. Mi, «», «*-i, m», etc.

il faut que w„ puisse devenir infiniment petit. Mais cela n’est pas suffisant. Appelons en effet S, la somme des n premiers ternies de la série :

appelons de même $„+l la somme des (n-fl) premiers termes :

et ainsi de suite. On aura

Sn+1 S. = Wn -j- M„+j ,

Sn+« — S„ = U„ -J- !/„+, -J- ..... -f-

11 faut encore que , pour une valeur suffisamment grande

de n , les différentes sommes m, , u„ -(- uK+l , w„ -|- -f-

+ 1/ , soient toutes moindres qu’une quantité aussi petite qu’on le voudra , quelle que soit la valeur de m , et qu’enfin ,

pour m= oc, la somme -j-ttn+ra j devienne

infiniment petite.

378. Réciproquement, si ces conditions sont remplies, la série sera convergente ; car, les sommes S,*., , Sn+t . . . . S„+* , pouvant devenir aussi peu différentes les unes des autres qu’on le voudra, convergeront nécessairement vers une limite trèspeu différente de S,.

En désignant par S la somme de la série, par S„ la somme des n premiers termes , la différence S — S* est ce que l’on appelle le reste de la série.

379. 11 est d'ailleurs facile de vérifier sur un exemple fort simple, qu’il ne suffit pas que les termes décroissent indéfiniment. Soit en effet série