i + i + fc + i+*+i + etc

Je partage ses termes en groupes terminés aux puissances successives de .

(1 î) + (a -f {) + (£ + i + $ 4* -|-etc- L’expression d’un groupe quelconque terminé à la puissance mmt de j est :

et ce groupe se compose de 2””' termes (car 2m = 2”*~‘ -f 2m~1}.

Or, chacun de ces termes est plus grand que le dernier ^ ;

donc leur somme est > — x 2*-1 , c’est-à-dire > Donc la

somme des termes de la série considérée se compose d’une suite dégroupes chacun > J; donc elle n’a pas de limite; donc la série est divergente.

SCO. Si une série à termes positifs est convergente, la série obtenue en multipliant tous ses termes par une même quantité, sera encore convergente.

Soit en effet la série

u, -f- «i -J- w» -f- . . . . -j- Mn| -{- m„ -f- un+i

En multipliant par C tous ses termes, nous formerons la série : •„

C«,-f- Cm, -(- Cw*-f- Cu„i -f- Cm, -j- Cm„+i -j- . . " •>

Or, si S„ est la somme des n premiers termes de la 1” série, le reste R* =w„ -j- «„+, est susceptible de décroître’ indéfiniment ; il en sera évidemment de môme du reste de la seconde série, puisque ce reste n’est autre chose que le produit de R. par le facteur constant C; donc cette séria est convergente (378).

Ainsi, une seule série convergente permet d’en former une infinité d’autres.

581. Une progression par quotients décroissante est une lérie convergente, puisque la somme de ses termes tend vers

une limite déterminée (374). Par conséquent, toute série dont les termes décroissent plus rapidement que ceux d’une progression géométrique, est aussi convergente.