I ne série à termes positifs est divergente, lorsque, à

partir d'un certain terme, le rapport d'un terme au précédent est plus grand que l’unité. .

Il est évident, en effet, qu’à partir de ce terme, tous les termes iront en croissant, et que par suite leur somme augmentera sans limite. i

383. Une série à termes positifs est convergente , lorsqu'à partir d’un certain terme le rapport d'un terme au précédent est constamment moindre qv’vn nombre fixe plus petit que l'unité.

Soit en effet la série

«<, + «! + «* + + «. + m.+i -f etc.

Supposons qu’à partir du terme de rang n, le rapport d’un terme au précédent soit constamment inférieur à un nombre K moindre que l’unité, de sorte qu’on ait :

îfî±?<K, ^*<K, t~<K, etc.

On déduit de ces inégalités les relations suivantes :

K„+1<Klf„

. - tf.+f<KMH+l<K’»,

etc.,

d'où l'on voit que, à partir du nmi terme, les termes de la série proposée sont respectivement moindres que ceux de la progression géométrique décroissante

fi Ku„ : K*u, : K*w» —

par conséquent la série est convergente (381).

Si l’on fait la somme des n premiers termes de la série en s’arrêtant au terme «„ exclusivement, l’erreur commise est la

PROORESSiONS ET SÉRIES. . . 285

somme de tous les termes que l’on néglige :

tf . -f- «*ti + «»+* «»+> 4" • • • •

et, d’après ce qui précède, cette somme eât plus petite que la somme . •

«„ 4 Km. + KX -f KX + . . . .

c’est-à-dire que ^ g. Telle est la limite de l’erreur commise.

Si K. était égal à l'unité, on ne pourrait rien conclure sur la. convergence de la série.