Supposons que tous les termes de la série

"o + «1 + «I + + u, + etc.

n’aient pas le même signe , et soient

U, , U, , U, UB, etc.

leurs valeurs numériques. Si ces valeurs forment une série convergente, il est facile de voir que la série -f u,-j-.r. sera à plus forte raison convergente. En effet, U0-|-Ui-|-Ui-f— ••

étant convergente , la somme U„ -{- U»+J -|- UB+ pourra

devenir moindre que toute Kmite assignable (377). Or il en sera de même a fortiori pour la somme w„ -f u,1+1 . • * •

formée de quantités ayant respectivement les mêmes valeurs numériques que celle de la première somme , sans être toutes positives ; donc la série u0 -j- u, -f- u, -f- sera convergente (378). . .

388. Si les termes d'une série sont alternativement positifs et négatifs , et qu’ils décroissent indéfiniment , la série est convergente. '

Considérons , en effet , la série

«o — + — + «, — «*+,, etc.

Je peux l’écrire de la manière suivante :

(«o— «»+ u,— Ma-f («**— «-+») — (u***— un+0 — etc.

Chaque terme étant , par hypothèse , plus petit que le précédent , les différences placées entre parenthèses sont toutes positives ; donc la somme de la série indéfiniment prolongée est

Si maintenant j’écris la série proposée sous la forme

(M» — «1 + Ul — «> -)-•••+ «» — «.+») + (««+» — “»+*)

+ («„+,— «„*) + etc. ,

on reconnaît que la somme de la série est

r HOC SESSIONS ST SÉRIES.

Ainsi la somme de la série est comprise entre deux quantités qui ne diffèrent que par le terme «„+, ; et comme la limite de ce terme est zéro, on voit que la série prolongée indéfini-' ment pourra différer d’aussi peu que l’on voudra de chacune d’elles. Cette série est donc convergente.

En s’arrêtant au terme positif «„ , on a pour la somme de la série une valeur trop grande ; et cette valeur devient trop petite, si on la diminue de «„+, ; l’errdtir commise en adoptant l’une ou l’autre de ces valeurs est donc plus petite que «n+i.

5117. Il existe plusieurs procédés pour développer en série une expression algébrique. La formule du binôme permet de développer facilement un radical; ainsi on trouvera pour y/l -f-x et \J\ — x '•

va+*=(i+*p=i+1 T+5î-sî+.le. -

,/r=T= (1 - *)■ = 1 - j — g- - s - g,- etc.

Ces formules peuvent servir à calculer rapidement les valeurs de ces radicaux , lorsque x est très-petit , en prenant seulement les premiers termes de la série.

La division algébrique peut également conduire à un développement en série. Ainsi

1 — x-f-x* — a? + etc.