a, b,)(c,d, eO — («» b,)(c, d t e t

— (a 1 ê s )(c 1 </ J e ) )-t-(a,f> s )(c 1 rf,e 3 ).

Le signe de chaque terme dans l’expression précédente se détermine sans peine par la règle des signes ( 8 ). 11 est évident.

DÉTERMINANTS RÉCIPROQUES ET MINEURS. 33

comme au n°27, que si dans la somme ci-dessus nous remplaçons parloutla lettre b par la lettre c, la somme 2(a,c,)(cj</,e 5 ) se réduira à zéro, puisqu’elle représente ce que deviendrait le déterminant si la colonne c était égale à la colonne b.

32. Le théorème du n° 30 peut être généralisé ainsi qu’il suit : Tout mineur de l'ordre p que l’on peut former avec les éléments du déterminant réciproque A,, B,. . . est égal au mineur complémentaire dans le déterminant primitif multiplié par la puissance p — i de ce déterminant. Par exemple, dans le cas où le déterminant primitif est du cinquième ordre,

(A, B,) = A(c 3 </ 4 e 3 ), ( A, B 2 C 3 ) = A’(rA *»)»

La méthode de démonstration générale se comprendra suffisamment en l’appliquant au premier exemple; nous avons

A x — A, £ -f- Aj t, -(- A 3 £ -4- A, (ü -4- As u,

Aj — B, £ -4- B, y; -4- B s Ç - 4 - B, 0) -4- Bs u.

Donc

AB,x — AA,j‘ = (A,B,)g + (A,B,)? + (A,B i )m + (A, B,)u.

Mais nous pouvons avoir une autre expression de x en fonction des cinq quantités y, £, Ç, w, u; en effet, considérons les équations primitives :

\ — <hx -4- b, y -4- c, z -(-</,«' -I- e, u,

Ç = Aj x -4- b 3 y ■+■ Ci z ■+■ d, w -4- e 3 u, w = a, x -f- b, y -4- c, z -4- d, iv'-h e, u, u = a s x -4- 6 S y -+- Ci z -4- di w -4- e t u ;

en éliminant z, w et u, il vient

{ a,c,d t e t )x + (b, c, d,e i )y= (c, d, e 3 ) & — ( c, dt,e t )Ç,

. -4- (Cs d, e 3 )w — (c, d, e t ) d;

et puisque, par définition, (a, c, d, c.) = B„ en comparant ces équations avec celles que nous avons déjà obtenues, nous avons ( A, B,} = A(c 3 d, e t ),

Exemple. — Si un déterminant se réduit h zéro, les mineurs A„ A,,. . . sont respectivement proportionnels à B,, B,,....

En effet, nous avons prouvé que