MR
et — a MR =
Multipliant ces déterminants suivant la règle ci-dessus, le premier terme
devient égal à zéro ; le second
+yy - R’ = — [(X' — x’)’ + (/ — /!)'] = - ; C J ,
c étant un côté du triangle. Par conséquent
d’où la formule connue
abc
Exemple V. — On peut employer la même méthode pour trouver le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre. Partant de l'expression du volume du trétraèdre
opposées du tétraèdre,
; c, / étant
CI? o
d'où, en désignant ad + bc -)- cf par aS, on déduit, d'après l’exemple XIII, n° 21 ,
36 R s V 1 = S(S - ad) [S - bc) (S — cf).
Exemple VI. — I.es démonstrations ci-dessus ont été inspirées à M. Burnside par la démonstration suivante donnée par M. Joachimsthal pour l’expression de l’aire du triangle inscrit dans une ellipse. Multiplions les équations
iM
«ZT
Le produit est un déterminant symétrique dans lequel les termes de la
diagonale sont de la forme —, t — i et deviennent nuis quand les
points sont sur la courbe; les autres termes sont ~p •••• •
Il est facile maintenant de démontrer qu’en désignant par y un côté du triangle, et par b m le demi-diamètre parallèle, on a
ah ~
jf
b mi
(r '-x"y (/— yr
( x'x" rV\ - a ( , a 2 ~ b 2 )'
MULTIPLICATION DES DÉTERMINANTS
Nous avons donc
tCb 1
Exemple VU. — M. Cayley a obtenu, de la manière suivante ( Cambridge and Dublin Mathematical Journal , vol. II, p. 270), les relations qui lient les distances deux à deux de quatre points sur un cercle ou de cinq points sur une sphère.
Substituons les coordonnées de chaque point dans l’équation générale d'un cercle
x 1 H-jr 1 — 2 Ax — 2B/ + C = o,
et éliminons A, B, C, nous obtenons un déterminant composé de quatre lignes telles que
Multiplions par un autre déterminant, qui ne diffère de celui-ci que par un facteur numérique, et que nous formerons à l’aide de quatre lignes de la forme 1, x', y, x ' 1 + y 7 ; le premier terme du produit s'annule, le second est (x' — x”) 1 4- (y — y) 1 . Par conséquent, si (12) 5 désigne le carré de la distance entre deux points, le produit sous forme de déterminant est
c’est la relation cherchée. Ainsi que nous l’avons déjà vu, ce déterminant développé donne la relation connue
La relation qui lie les distances de cinq points sur une sphère est le déterminant correspondant à cinq lignes. .
Exemple VIII. — Trouver une relation entre les distances deux h deux de trois /joints sur une droite, de quatre points sur un plan ou de cinq /joints dans l’espace.
Ajoutons une unité et des zéros aux deux déterminants dont nous avons
28 TROISIÈME LEÇOS.
fait le produit dans l’exemple précédent, il vient
Nous avons maintenant cinq lignes horizontales et seulement quatre colonnes; le produit, développé comme au n° 25, doit donc être nul. Mais ce produit n’est autre que le déterminant
c’est la relation cherchée. En effaçant la dernière ligne et la dernière colonne, nous aurons la relation entre les distances de trois points sur une droite; en ajoutant, au contraire, une nouvelle ligne i, (5i)’, (52)’,..., nous aurons la relation entre les distances de cinq points dans l’espace. Nous pouvons, pour procéder au calcul de ces déterminants, retrancher la deuxième colonne de chacune des suivantes,' et ensuite retrancher également la première ligne de chacune des suivantes, ce qui donne
Les déterminants auraient pu’ être directement obtenus sous cette forme réduite, mais non symétrique, en plaçant l’origine au point (i) et formant, comme au n° 25, avec les éléments x', y, x", y,. . ., le déterminant suivant qui doit être identiquement nul,
x”+/’ x'x'+yy x'x m +//’ x-x'-f -yy x"-+y> x’x m +yy ■ x'x m +yy x”x*-t -yy x " 12 +y 2
On reconnaît sans peine qu'il équivaut à celui qui a été établi ci-dessus.
Exemple IX. — Trouver ht relation entre les arcs joignant r/uatre //oints sur une sphère.
Prenons l’origine au centre de la sphère et formons, avec les cosinus qui fixent la direction des rayons vecteurs menés à chaque point cos*', cosf',
MULTIPLICATION DES DÉTERMINANTS. 29
cosy', cosa”,..., un déterminant qui sera identiquement nul, il vient
1 cos nb cos ne cos ad cos ba 1 cos bc cos bd cos ca cos cb 1 cos cd cos da cos db cos de 1
Si nous remplaçons les cosinus par leurs développements en séries 1 — 4 -..., et supposons le rayon r infini, le déterminant se réduit
à celui de l’exemple précédent concernant quatre points dans un plan. Exemple X. — Soit
calculer le produit y ( >. ) <j> ( — X ) .
Le déterminant qui représente le produit est de la même forme que le précédent, X étant remplacé par V et A,. . ., H, par les valeurs
A = «’4A’4-£ J , B = b'+p + h\ C=c 1 + g--hf,
F =gh+f(b + c), G = hf+g(c + a), ü=fg + h(a + b).
En développant et égalant à zéro, on a
5 * - LX‘ + MX 1 - N = o,
équation dans laquelle
M = (bc — /’)’ + (ca — g 1 ) 2 + (ab — h') 1
+ a ( «/— g>‘ ) ' ’ 4 * a ( bg — hfY 4 - a ( . ch — fg )’,
et N est égal au carré du déterminant primitif dans lequel on a fait X = o ; L, M et N sont des quantités nécessairement positives. De même, si l’on forme ?(X) à l’aide d’un déterminant symétrique quelconque, le produit ? ( X ) ? ( — X ) égalé à zéro fournit une équation en X J dont les termes sont alternativement positifs et négatifs, et qui, d’après la règle de Descartes, ne peut avoir de racine négative. C’est ainsi que M. Sylvester a démontré la réalité des racines de l’équation 7 (X) = o. Il est évident, d’après ce que nous avons dit plus haut, qu’il ne peut y avoir de racine de la forme § 1,
et l’on verra facilement qu’il ne peut y en avoir de la forme a 4- (Jy/— 1 ; il suffit pour cela d’écrire a — a = a‘,b~a = b',c — a = c' et l’on rentre dans le cas précédent.
DÉTERMINANTS RÉCIPROQUES ET MINEURS
27. Nous avons vu (16) que les déterminants mineurs sont liés aux éléments correspondants par la relation
Oi Ai + ci-ï A, -i- Æj A 3 4- . • . — A j
ils sont liés aux autres éléments par les équations identiques
b , Ai -i- b s A, + A, + . . . = o,
En effet, le déterminant étant égal à a, A,+ a  \ et A„ A,... ne contenant pas a„ a,,..., l’expression b, A, + 6 , A, + . . . est ce que deviendrait le déterminant en faisant a,= b„ n,= b ; mais il aurait alors deux colonnes identiques, et par suite se réduirait à zéro (14).
28. Nous pouvons maintenant écrire sous une forme abrégée la solution d'un système d’équations
<hx - 4 - b s r + c, 2 - 4 -. . .= K,
car, en multipliant la première par A,, la seconde par A,,..., et ajoutant, les coefficients de y, 2 ,. . ., s’évanouiront, tandis que celui de x sera a, A, + a, A , + . . . , c’est-à-dire le déterminant formé avec tous les coefficients des premiers membres des équations : nous l’appellerons A. Nous avons donc
Ax — A, £ + A 3 ïj + A, Ç + .. .,
Ay — B, £ + B, n + B 3 Ç + . . . ,
t DÉTERMINANTS RÉCIPROQUES ET MINEURS. 3l
29. Le déterminant réciproque d’un déterminant donné est celui qui a pour éléments les mineurs du déterminant primitif; ainsi le réciproque de (a, 6, c 3 ) est
A , B, Ci *
Aj B 3 Cj
Ai, B„... ayant la signification expliquée plus haut. Si nous l’appelons a', et si nous le multiplions par le déterminant primitif A, il vient, d’après la règle du n° 22,
Ai -t- è 1 B l -t- c t Ci a, A, -+- A, B, -h c,C, n,Ai 4- A 3 Bi 4- c,Ci
Ri A, 4 - 6| B, -+• Ci C, o 2 Ai 4“ ÔiBj 4- c,C, n. A, 4~ f*iB, -t- CiCi ,
«iA s 4- b t B, 4~ Ci C, cii A, 4- b 2 B, 4- CiC, n, A, 4- b 3 B, -t- c. Ci
mais, d’après le n° 27,
le déterminant se réduit donc à
d’où
(a, A,Cj)(A, BiCjJ^a^iC,)’ et (A,B,Ci) = (a, AjCj}’, et, en général,
30. Si nous prenons le second système d’équations du n°28, et que nous le résolvions de nouveau par rapport à »,. • • en fonction de A®, Aj, . . . , nous avons
A'{ = a,Ax 4- b, A j 4- c,Az 4-. . . ,
a,, b,, c„ . . . , étant les mineurs du déterminant réciproque.
Mais ces valeurs de Ç, n, Ç,. . . doivent être identiques av«c les équations primitives; d’où, en remarquant que A'=rA’ l ,
nous obtenons, par la comparaison des coefficients,
équations qui expriment en fonctions des coefficients primitifs les mineurs du déterminant réciproque.
31. Nous avons vu qu’en considérant une colonne quelconque a d’un déterminant, chaque terme contient comme facteur un élément de cette colonne; par suite, le déterminant peut s’écrire sous la forme 1a p \ p . De même, si l’on considère deux colonnes quelconques a et b du déterminant, il peut être mis sous la forme 2 (a p b q ) A M , la somme 2 désignant tous les déterminants possibles que l’on peut former en prenant deux lignes horizontales des deux colonnes données.
En effet, chaque terme du déterminant contient comme facteur un élément de la colonne a et un autre de la colonne b; et, d’après la règle des signes, à chaque terme a p b q c t d,... en correspond un autre — a,b p c r d,.... D’où l’on voit que la forme du déterminant est 2 [a p b q ) et, par le même raisonnement qu’au n° 16, on voit aussi que le multiplicateur A M est le mineur obtenu par la suppression des deux lignes et des deux colonnes où se trouvent a p et b q .
En général, si l’on considère p colonnes quelconques du déterminant, on peut l’exprimer comme somme de tous les produits que l’on obtient en formant tous les déterminants possibles avec lignes horizontales prises parmi ces p colonnes, et multipliant le mineur ainsi obtenu par son complémentaire, c’est-à-dire par celui qui résulte de la suppression de ces mêmes colonnes et de ces mêmes lignes, par exemple :
