A, B, — A,B, = AC

C étant le second mineur que l’on obtient en supprimant les deux premières lignes et les deux premières colonnes. Donc, si A = o, on a

FONCTIONS SYMÊTRIQIES.

33. Nous supposerons que le lecteur connaît la théorie des fonctions symétriques des racines des équations telle qu’elle est ordinairement présentée dans les ouvrages sur la théorie des équations. Nous admettrons ainsi qu’il connaît la formule de Newton pour calculer les sommes des puissances des racines de l’équation

or* — p,x'~'

c’est-à-dire

Ji — p, “ O, i, — pt Si

-4- >p a = 0 , Si — p,s 3 -hp,s, — 3p, = o

d’où l'on tire

— ipi, S 3 — p 3 , —3/»,/?, *t- 3/>„. . .

ainsi que les autres formules

2o”|3eyî — s n $pSq s m + p Sj s m ^s p s p +qS m - 4 - iSm+p+^t ....

Si nous avons une fonction homogène des coefficients p,, V ordre de cette fonction sera, suivant le sens le plus usité, le nombre de facteurs contenus dans chaque terme : si, par exemple, p\p\ p' a est un terme de la fonction, elle sera de l’ordre r -+- s -+- /. Si la fonction n’est pas homogène, l’ordre sera défini par celui du terme le plus élevé. Nous appellerons poids d’une fonction là somme des indices de chaque facteur; ainsi le poids du terme p r , p s ,p' 3 sera la somme r-+- 2 *-+- 3/. Le terme prp,p< serait du troisième ordre, et son poids serait

/• -t- $ Dans le cas des fonctions que nous avons à considérer, le poids sera le même pour tous les termes.

34. Si l’on examine les expressions données plus haut pour s„ s„ s 3 , ... en fonction des coefficients, il est clair que le poids de chaque terme est égal à 2 dans s„ à 3 dans s 3 et, par induction, à n dans s„ De même, le poids de 2a" (3r est m -h p, celui de 2a" (3 ry» est m -h p -t- q. ■ ■ .

On peut le démontrer d’une manière générale ainsi qu’il suit. Si l’on remplace les racines a, (3, y,. . . par Xa, X|3, Xy, . . ., la fonction 2a" (3r yi est évidemment multipliée parX" + r + ». Mais on sait qu’en multipliant chaque racine par X, on multiplie p, par X,/>, par X’, p 3 par X’, .... L’expression 2a"j3ry« en fonction des coefficients doit donc être telle, que, si l’on remplace /», par X/>„ p 3 par X’/>, , . . . , chaque terme se trouve multiplié par X’ + / ,+ ?; ce qui revient à dire que le poids de chaque terme est m -+- p -t- q.