Puisque l’on a

et qu’aucun des coefficients p 3 , p t ... ne contient a à une puissance supérieure à la première, il est clair que l’ordre d’une fonction symétrique quelconque 2a”pcyî (m étant supposé ^>pex q) doit être au moins égal à m; en effet, il faut au moins m facteurs contenant chacun a au premier degré pour que le produit renferme a". Réciproquement, toute fonction symétrique d’ordre ni contiendra a m dans quelque terme. En effet, si l’on désigne par q, la somme de [3, y, par q 3 , q 3> ... les sommes de leurs produits 2 à 2 , 3 à 3,..., on a

p,—a-X-q„ p-i — ccqi-X-qi, p 3 = a.q 3 -+- q 3 ,. . -,

et le coefficient de la plus haute puissance de a dans un terme p r 3 p\p\ sera q r ,q s 3 q' 3 ; réciproquement, le facteur q r ,q s ,q' 3 ne peut provenir que du terme p r 3 q\ q \ . Il ne peut donc se réduire à zéro par l’addition d’autres termes; d’où il suit que l’ordre de la fonction symétrique 2a"(3ry? est égal au plus grand des nombres m, />, q : nous avons en effet prouvé qu’il ne peut

pas être moindre et il ne peut pas être plus grand, puisque des fonctions d’un degré supérieur contiendraient des puissances de « plus élevées que a".

A l’aide de ces deux principes, on peut écrire immédiatement la partie littérale d’une fonction symétrique, et il ne reste à déterminer que les coefficients. Si l’on demande de former 2a’(|3 — y)’, on voit sans peine qu’il s’agit d’une fonction dont le poids est 4 et l’ordre 2 , c’est-à-dire que chaque terme ne peut avoir que deux facteurs. Les seuls termes qui puissent y figurer sont p„ />,/?,, p\, et, pour compléter le calcul de la fonction, il ne reste qu’à déterminer les coefficients numériques de ces trois termes.

36. Les fonctions symétriques des différences des racines étant celles dont nous aurons le plus à nous occuper, il n’est pas inutile de faire connaître ici un théorème à l'aide duquel les sommes des puissances de ces différences peuvent s’exprimer en fonction des sommes de puissances des racines ellesmêmes. Développons ( x — a)"' par la formule du binôme, développons de même ( 2 : — (3)”, . . ., et ajoutons, nous avons

£( x — x) m = s,x m — -l - ^ ni (ni — — ...

Maintenant, si nous remplaçons x par x dans cette expression, elle devient

si nous remplaçons de même x par (3, elle devient

et ainsi de suite. Additionnons les résultats de toutes ces substitutions : si ni est impair, la somme est nulle, puisque les termes (a — (3)", ((3 — xf" se détruisent; si m est pair, elle devient, au contraire, 2 l(x — |3 y, mais la même substitution étant opérée dans le second membre de l’équation, nous avons en ajoutant

— rns, «« + -/»( m — I <

Si m est impair, le dernier terme sera — *„*„, qui détruira le premier, et tous les autres termes se détruiront de même; mais, si m est pair, le dernier terme sera identique au premier et ainsi de suite, et l’équation deviendra divisible par 2. Nous avons donc, quand m est pair,

I ( oc — [3 )’" = 5» s m — ms, *, -1- ^ m ( m — i — . . . ,

les coefficients étant ceux du binôme, jusqu’à ce que l’on arrive à celui du milieu, auquel on s’arrête en le divisant par 2. Par exemple,

37. Toute fonction des différences des racines doit évidemment rester invariable si on les augmente ou diminue toutes d’une même quantité; si, par exemple, on remplace dans l’é— fjuation & par x — À. Elle devient, dans ce cas,

x " — [p, + nl)x n ~' -+ -+-(n — 1 )lp, -+- ^ n(n — 1 jX’Jar" -2

— [p* -4- [n — 2 )lp, -+-. . . . = o.

Mais une fonction quelconque 9 des coefficients p„ p» . . vient, quand on change p , en p , -+- ôp lt p, en p 2 -l- ôpi,....

de-

Itemplaçons donc p , par p , -t- ni, p , par

p 2 -+- [n — 1 ) Ip, -t- n (n — 1 )>.' . . . ,

et ordonnons le résultat par rapport aux puissances de 1 , il devient

FONCTIONS SYMÉTRIQUES. 3g

Nous avons vu que toute fonction des différences ne doit pas varier par la substitution, quelque petit que soit^; elle doit donc, lorsqu’on l’exprime en fonction des coefficients, satisfaire à l’équation différentielle

do , d 9

Exemple 1. — On demande de former S (a — p) 7 .

Nous savons que l'ordre et le poids de celle fonction sont égaux à 2; elle doit donc être de la forme A p, 4 - B \p. Appliquant l’équation différen tielle, nous avons

B doit donc être proportionnel à (« — 1) et A à — in, et la fonction ne peut différer que par un facteur de (n — 1)/>? — *"/>,•

On verra que ce facteur est égal à l’unité en supposant a = 1 et toutes les autres racines nulles, d’où p, = 1 , p,= o, ce qui réduit l’expression ci-dessus à « — 1 , comme on pouvait le prévoir.

• Exemple II. — Former /mur une équation du troisième degré le produit fies carrés des différences (a — p) 7 (p — y ) 7 (y — a)’.

L’ordre de la fonction est 4, son poids 6, et elle doit être de la forme A pl + B/r, p , p, + C p, p\ + Dp\-)rVp\ p\

Effectuant l’opération

d tl tl

dp, dp, r7 dp 3

elle devient

(2 A + 3 B)p,p, + (2 B 4 - 9 C)p,p] + (B 4- 6 D-f 6 E)/>’ p, 4 - (C -1- 4 %)p,p ? , expression qui doit être identiquement nulle, d'où

. C = — 4 E, B = 18E, A = — 27E, D = — 4 E; la fonction ne peut différer que par un facteur de l’expression

p\p\ +'*P,PiPs- 4 pl ~ 4 p,p', -* 7 Pl

On peut voir que le facteur est égal à l’unité en supposant 7 et, par suite, p , nuis.