Nous emploierons, par la suite, des équations homo

gènes. En écrivant - à la place de x et faisant disparaître les

fractions, l’équation que nous avons employée devient

V — p, x"~'y -+- p t x’-'y* . . . zh p„ y* = o.

Donnons, pour la symétrie, un coefficient à x" : il convient, en outre, de donner aux différents termes les coefficients du développement du binôme (x-h jr) m , et nous écrirons ainsi

a„ x " -t- na,x”-' y -h '^n[n — i )a i x , ~'y'‘

•+• xy + n, y. ~o.

L’avantage que procure l’emploi des coefficients du binôme consiste en ce que, dans toutes les fonctions des différences des racines exprimées en fonction des coefficients de l’équation, la somme des coefficients numériques est nulle. En effet, nous aurons cette somme en faisant a, = a, = «, =. . . = i; mais, dans celle hypothèse, toutes les racines devenant égales, leurs différences s’annulent.

Nous entendrons, par fonction symétrique des racines d’une équation homogène, la fonction symétrique des racines de l'é-

quation en — formée après la division par a,y‘ avec les coefficients^ el multipliée par la plus haute puissance

de a , qui se trouve en dénominateurafin de faire disparaître les fractions. De cette manière, toute fonction symétrique sera une fonction homogène de a„, a ; en effet, avant d’èlre dé-

barrassée des fractions, elle était homogène et de degré zéro, et elle l’est encore lorsqu’on multiplie tous ses termes par un même facteur. Nous pouvons aussi établir la théorie des fonctions symétriques des racines d’une équation homogène sans

la transformer préalablement en une équation en - -Soit a une

racine de celte dernière, il est évident que l’équation homogène

sera satisfaite par toutes les valeurs de x', y 1 pour lesquelles

on aura x' = ay J , puisqu’il n’est manifestement question ici

oc' , ,

que du rapport—; l’équation divisée par y* étant décompo-

sable en fadeurs, l’équation homogène se ramènera à un produit (/a: — /*')(/* x — yx")[y x — yx"').... Multiplions et comparons à l’équation primitive, il vient

«i=/7* «a, — 2 ^ n(n — i)a,=Ix'x"y"...,

na „ , qr ly'x" x m . . . , fl* = ± jt' . . . .

En faisant/,/",... égauxà l’unité, ces expressions se réduisent aux expressions ordinaires des coefficients d’une équation en fonction des racines x', x",... Réciproquement, toute fonction symétrique écrite sous la forme ordinaire avec les racines x', x " . . . peut se ramener à l’autre forme, en supposant chaque valeur x' divisée par une valeur correspondante / et l’ensemble de la fonction multiplié par une puissance de y y " . . . assez élevée pour faire disparaître les fractions. Ainsi la somme des carrés des différences I(x’ — x") 1 devient

et, en général, toutes les fonctions des différences se ramèneront à une somme de produits de déterminants tels que x 1 y" — y x' , x' y'" — x'"y, . . . , par des puissances de/',

39. L’équation différentielle que nous avons donnée pour les fonctions de différences des racines demande à être un peu modifiée lorsque l’on écrit l’équation avec les coefficients du binôme.

Si, dans l’équation

a, x " na, x u ~'y -+- . . . = o,

nous remplaçons x par x -t- X, a, devient a , -t- a, devient a, -+- 2 a, À -+- a,l\ a 3 devient a 3 ■+• 3la 2 + 3î.’a, l s a c , . . ., et toute fonction <p des coefficients se transforme en la suivante

<?+) ( flo ë + 2 ü, £ + 3 rt, è + "') + ""

Toute fonction des différences des racines doit donc, puis-

qu’elle ne change pas lorsque l’on remplace x par x -+■ 1, satisfaire à l’équation

da ,

d cp

da,

do da ,

De même, toute fonction qui ne change pas lorsque l’on remplace y par y -+■ X doit satisfaire à l’équation

na, y- ( n — i )a, ^

da„ 1 da,

da.

Les fonctions de cette espèce sont fonctions des valeurs inverses des racines, et, dans la notation homogène, consistent en produits de la forme x'y'' — x"y... multipliés par des puissances de x', x",.... Les fonctions des seuls déterminants x‘ y — x"j J ,..., qui ne sont pas multipliées par des puissances de x 1 , y ’ satisferont aux deux équations différentielles.