M. Serret écrit l’opération a, 4-. . . sous une forme

abrégée qui présente quelquefois des avantages. Imaginons une variable fictive Ç dont les coefficients a., «„ . . . soient des fonctions telles, que l’on ait

da, da , da,

d^~ a “’ d£-~ 2a '’ dç 3rt2 ”” ;

on a évidemment

do do „ do do

a, -f- 4- 2 a, -f- 4- 3a, -j- 3 - 4-. . .= -jyda t dciq dci$ d ç

On peut de même écrire ««, ^

sous la forme abrégée

-r-i y) étant une variable dont les coefficients a„ a, «y)

des fonctions telles, que l’on ait

., sont

da „ da, ,

— = na„ j — = (n — i )

ayj rfy)

42. 11 convient de faire connaître également une observation faite par M. Brioschi relativement au sens de la première de ces deux opérations lorsqu’on l’exprime en fonction des racines. Considérons une fonction des coefficients p,,p„ p^,...; exprimons ces coefficients en fonction des racines et examinons ses dérivées par rapport aux racines.

Si l’on désigne comme plus haut par q, la somme, par q , la somme des produits deux à deux, etc., de toutes les racines moins l’une d’elles x, on a évidemment

et

dp i dp,

dx *’ dx

d d d il

dx dp , " + ’ dp, + dp 3 +

On a de même des expressions correspondantes pour les dérivées par rapport aux autres racines ; en les ajoutant, le coefficient de devient égal à n. Celui de ~ devient ( n — i )»,.

dp, ° dp, r

En effet, puisque q, = p, — x, en ajoutant, le coefficient en question deviendra np, — (a -)- £ -4- y +. . .) = (n — i)p„ De

même le coefficient de ~ est égal à ( n — a )p„ et l’on a

\dx

dp

On voit maintenant clairement pourquoi, en appliquant l’opération indiquée par le second membre à une fonction des différences des racines, le résultat se réduit à zéro : c’est parce

FONCTIONS SÏMÉTR1QUES. 4^

que l’opération équivalente ^ -t-. . appliquée à une différence quelconque, fournit un résultat identiquement nul.

De même, si l’équation avait été écrite avec les coefficients du binôme, nous aurions eu

da, • , . da,

n-j— — a„ - n[n — i) -j— = na„. . ., dx 2 da

d’où, comme précédemment,

dx dp da, da.

RÉSULTANTS.

43. Quand on a k équations homogènes n h variables, ou, ce qui revient au même, k équations non homogènes à k — i variables, il est toujours possible de les combiner de manière à en déduire une seule équation i=o ne contenant plus de variables. On dit alors que les variables sont éliminées et A est le résultant (*) du système d’équations. Prenons l’exemple le plus simple, celui que nous avons déjà considéré dans la première Leçon, c’est-à-dire deux équations du premier degré

ax -+- b — o, a' x 4- h' — o.

Multiplions la première par a', la deuxième par a, et retranchons la première de la deuxième, il vient

ab' — a' b — o,

et la quantité ab' — a’ b est le résultant des deux équations. Il faut maintenant remarquer que l’on ne peut en conclure l’égalité ab' — a! b — o qu’autant que les deux équations données sont censées simultanées, c’est-à-dire qu’autant qu’elles doivent être satisfaites par une même valeur de x. Il est évident, en effet, que si nous combinons les deux équations

pour en déduire l’égalité

nous admettons implicitement que x représente la même quan-

(*) Ix*s résultants ont reçu aussi le nom à* éliminants.

RÉSULTANTS.

tité dans les deux équations. Il en résulte que l’égalité ab' — a'b = o

représente la condition nécessaire pour que les deux équations puissent être satisfaites par une même valeur de x, comme on peut aussi le voir immédiatement en les résolvant toutes deux par rapport à x et égalant les valeurs ainsi obtenues. Et, en général, étant donné un nombre quelconque d’équations

nous pouvons les combiner et en tirer une égalité telle que /U +mV + n \V = o,

pourvu que les variables aient les mêmes valeurs dans toutes les équations. El si, en les combinant, nous parvenons à un résultat qui ne contienne plus les variables, il se réduira à zéro lorsque ces équations pourront être satisfaites par un système commun de valeurs, et seulement dans ce cas. Le résultant peut donc être défini : Une fonction des coefficients du système d’équations donné" qui doit se réduire à zéro lorsqu’elles admettent un système de solutions communes.

bk. NouSj avons maintenant à montrer comment l’élimination peut s’opérer et quelle est la nature du résultat auquel on est conduit. Commençons par deux équations écrites sous la forme non homogène

x” — p, x”-' 1 . = o ou ç(x) = o,

x“ — q,x"~' ■+■ q^x"-' -t-. . . — o ou i}i(x)=:o.

Le résultant représente, comme nous l’avons vu, la condition nécessaire pour que les deux équations aient une racine commune. S’il en est ainsi, quelqu’une des racines de la première équation doit satisfaire à la deuxième ; soient donc a, (3, y, . . . les racines de la première équation, et substituons-les successivement dans la seconde, l’un des résultats <]/(oc), doit

devenir nul, et leur produit est nécessairement dans le même cas. Mais ce produit est une fonction symétrique des racines

de la première équalion, et dès lors peut s’exprimer en fonction de ses coefficients; on a ainsi le résultant cherché. La règle à suivre pour éliminer suivant cette méthode est donc de prendre les m facteurs

4> ( ot ) = a" — q t a’ -1 + q t a’’ - ’ — .. . ,

<MP)= p" p"-’-....

de les multiplier tous ensemble, et de substituer à la place des fonctions symétriques des racines a, (3, y,... leurs valeurs en fonction des coefficients de la première équation.

Exemple. — Eliminer x entre les deux équations

Multiplions (a 5 — y.ü + î,] par (f,— r/,(5 4-?,), il vient

remplaçons a 4- p par p,, xp par p 7 , a J 4 - par p] — ip 7 , nous avons

p] - PtfVh + <1ÀP\ ~ V>,) +P,q\ ~ 7 , <ld\ +‘l\,

ou

(P, -?,)’ + (P, ~ 7 , ) (P, <h ~ P,<li ) :

c’est le résultant demandé.

45. On obtiendrait le même résultat (abstraction faite du signe) en substituant les racines de la première équalion dans la deuxième, ou celles de la deuxième dans la première.

En d’autres termes, si l’on désigne par a', (3\ y',... les racines de la deuxième équation, le résultant peut s’écrire indifféremment sous l’une ou l’autre des formes

?(*')<p(P')?(y')--- ou «K») +((*) +(/)■•••

car, si l’on se rappelle que

la première forme revient à

RÉSULTANTS. 49

el la seconde à

Dans les deux cas on a donc le produit de toutes les différences possibles entre une racine de la première équation et une racine de la deuxième, et ces deux produits ne peuvent différer que par leur signe.

4fi. Si les équations avaient été données sous la forme homogène, avec ou sans les coefficients du binôme,

a, x" -+- ma,x‘"~'y -+- — m(m — i )a,x m ~ , y i -+- . . . = o,

b, x" -+- nb, x"~'y -t- ^ n ( n — i )bi x^y* + . . .— o,

on les ramènerait à la forme précédente en divisant par a,y",

, ,, . ma, nb, , .

Oojr", et 1 on aurait p, = -> q,— j—, • • • • On substi-

tuerait ces valeurs dans le résultat obtenu par la méthode du numéro précédent, et l’on ferait disparaître les fractions en multipliant par la plus haute puissance de a , et b t qui se trouverait dans les dénominateurs : le résultant des deux fonctions

a t x* -+- ia,xy -l- a^y, b,x 1 4 - 2 b,xy + b, y 1

déduit de cette manière de la valeur obtenue plus haut (44) devient

Le résultant est toujours une fonction homogène des coefficients des deux équations. En effet, avant d’être débarrassé des dénominateurs, il était évidemment fonction homogène de degré zéro, et il reste par suite encore homogène lorsque l’on multiplie tous les termes par une même quantité. On peut le voir aussi en appliquant directement aux équations la méthode du n° 44. Soient x', y 1 ; x", y,. . . les valeurs qui satisfont à la première; si les deux équations admettent un facteur commun, quelques-unes de ces valeurs doivent satisfaire à la

5o SIXIÈME LEÇON.

seconde. On effectuera donc le produit

(b t x'" + nb l x' , -'y' -+-. . -+- nb,x" n ~'jr"

et on remplacera les fonctions symétriques des racines par leurs valeurs en fonction des coefficients de la première équation, comme au n° 38.

47. Le résultant de deux équations des degrés ni et n est du degré par rapport aux coefficients de la première, et du m iine par rapport à ceux de la deuxième.

En effet, il peut s’écrire, soit comme produit de m facteurs (3). . . contenant chacun au premier degré les coefficients de la deuxième équation, soit comme produit de n facteurs (p(a') 9(j3')... contenant chacun au premier degré les coefficients de la première. En considérant seulement la forme i}>(a)^(j3). . ., nous pouvons également voir que cette forme, qui contient évidemment les coefficients de la deuxième équation au degré m, renferme ceux de la première au degré «, puisque les fonctions symétriques qui s’y trouvent contiennent chaque racine à la puissance n et ne la contiennent pas à une puissance plus élevée (33).

48. Le poids du résultant est mn, c’est-à-dire que la somme des indices dans chaque terme est constante et égale à mn. En effet, si l’on multiplie chacune des racines a, (3, . . ; a', (3',. . . par un même facteur^, chacune des mn différences a — a' ( 45) étant multipliée par ce même facteur, le résultant le sera par Mais, pour multiplier les racines par il suffit de remplacer p,, q, par lp,, Iqr, pu q i par l'q ?. . ., et, en effectuant ce changement dans le résultant, chaque terme devra se trouver multiplié par À”*, ce qui revient à dire que la somme des indices de chaque terme est égale à mn.

On peut encore le voir au moyen du principe du n° 34.

Dans la fonction ^(jr), la somme de l’exposant de chaque terme et de l’indice du coefficient correspondant est n, c’està-dire que i}/(#) est la somme d’un certain nombre de termes de la forme q,-ix‘. Si nous prenons donc un certain nombre de termes dans chacun des facteurs ) 4>( (3 ) - le terme cor-

RÉSULTANTS.

respondant du produit sera g„j a 1 Çp y* . . et si nous

combinons ce produit avec tous ceux dans lesquels se présentent ces mêmes coefficients, nous aurons q^ i q^.jq„-k1» i Ç>iy i .... La somme des indices des coefficients q est

n — i + n — j + n — h' , ou, puisqu’il y a m facteurs,

mn — [i +j + />' + • . •)..

Mais, d’après le n“ 34, la somme des indices des coefficients p

dans l’expression de 2a' j3'y‘. . . est i -+- / -t- lt 4- La somme

des deux séries d’indices est donc mn, ainsi que nous voulions le démontrer.

Le résultat auquel nous venons de parvenir peut encore s’énoncer ainsi (*): Si p„ q , contiennent une nouvelle variable z au premier degré, que p„ q, la contiennent au deuxième et au premier, p 3 , q 2 au troisième et aux degrés inférieurs, et ainsi de suite, le résultant la contiendra, en général, au degré mn.

II est évident que ces résultats subsisteraient également pour les équations écrites sous la forme homogène flr. r" h — . , puisque les indices se correspondent dans les deux formes. On voit aussi qu’en raison de la symétrie ils seraient encore vrais si les équations avaient été mises sous la forme

a m x l " 4- ma m ~,x"—'jr + . . . ,

où l’indice de chaque coefficient est égal à l’exposant de x au lieu d’être égal à celui de y.

49. Puisque le résultant est une fonction des dilférences entre une racine de l’une des équations et une racine de l’autre, il restera invariable si l’on augmente d’une même quantité les racines des deux équations, c’est-à-dire si nous y remplaçons x

(*) Ou bien encore ainsi : Si l'on substitue dans le résultant, à la place de chaque coefficient /> a , le terme x* qu’il multiplie dans l’équation primitive, chaque terme du résultant devient divisible par x"'", ou bien, sous la forme homogène, si l’on remplace chaque coefficient a K parx 0 ^" 1 *, tous les termes du résultant deviendront divisibles par

5a SIXIÈME LEÇON.

par x + Il en résulte, comme au n° 37, que le résultant doit satisfaire à l’équation différentielle

dp, " dp, r

dA

dp.

dq ,

dA

dq.

ou, comme au n° 30, en écrivant les équations avec les coefficients du binôme

d A d A , dA , dA

a 'dâ + :iai ch, + '-- +b 'db,+' lb ' db.

50. Étant données deux équations homogènes à trois variables des degrés m et n, le nombre de systèmes de valeurs qui peuvent satisfaire à la fois à ces deux équations est mn ( *).

Soient

ax*" + ( by -t- -t- ( dy* -f- eyz -+- f z 1 )x m ~ 1 4 - . . = o,

a'x" 4 - (b 1 y + d z}x"~ l -+- {d’y 7 -+- e'yz 4 -f z 7 )x*~ 7 . . . = o

les deux équations ordonnées suivant les puissances de x; si nous éliminons x, le coefficient de x m ~' étant une fonction homogène du premier degré de y et z, celui de une fonction semblable du deuxième degré, et ainsi de suite, on voit d’après le n" 48 que le résultant sera une fonction homogène de y et z du degré mn.

On peut donc trouver mn valeurs de v ret de z {**) qui rendent le résultant égal à zéro. Si nous substituons l’une quelconque d’entre elles dans les équations données, elles auront, puisque

(*) Ce3 équations peuvent être censées représenter deux courbes des degrés m et n . La proposition contenue dans ce numéro s'interprète géométriquement en disant que les courbes se coupent en mn points. On ramène ces équations à la forme ordinaire en faisant t = 1 .

(**) Le lecteur doit se rappeler que quand nous employons des équations homogènes, le rapport des variables est tout ce dont il y a lieu de s'occuper. Ainsi, dans ce cas, z’ peut être pris arbitrairement, la valeur correspondante

de / étant déterminée par l'équation en —

RÉSULTANTS.

leur résultant devient nul, une racine commune lorsqu’on les résoudra par rapport à x : cette valeur de x, combinée avec les valeurs de y et z déjà trouvées, donne un système de valeurs satisfaisant aux équations données; nous avons donc en tout mn systèmes semblables de valeurs. Nous donnerons plus loin une méthode par laquelle on peut, quand deux équations ont une racine commune, la déterminer immédiatement.

Exemple. — Trouver les coordonnées des quatre points d’intersection de deux sections coniques représentées par les équations

ax 7 4- bj 7 -f- cz 7 4- ifyz 4- ’zgzx 4- % hxy = o, a' x 7 4- b’) 3 4- e‘z 7 4- 2 f'yz 4- ig'zx + •iléxjr = o.

Ordonnons les équations suivant les puissances de x et éliminons cette variable : le résultat est, d'après le n° 46,

[{nb')y + 2{af')yz+-(ac')z 7 ] 7 4 - 4 [ ( ah' )y 4 - ( ng' ) z] j ( blé ) y J 4 - [ ( bg' ) 4 - 2 (//•' ) ]y‘ z