r/i , )4-2(/ g ')]yj , 4-(^ , )r i ; = o
où nous avons, comme dans la première Leçon, écrit ( ab ') pour al/ — a' b.
Cette équation, résolue par rapport à -1 donnera les valeurs correspondantes aux quatre points d’intersection. Les ayant trouvées et substituant l’une d’entre elles dans les doux équations, on aura, en cherchant leur
commune racine, la valeur corres|>ondante de -• Nous aurions pu déterminer d’un seul coup les quatre valeurs de ~ en éliminant y', mais la substitution est nécessaire pour savoir quelle est la valeur de y qui correspond à chaque valeur de x. En faisant z = 1 , tout ce qui précède se trouve exprimé dans le système do coordonnées ordinaire.
.51. Toute fonction symétrique des mn valeurs qui satisfont simultanément aux deux équations peut s’exprimer en fonction de leurs coefficients.
Pour être plus facilement compris, nous considérerons d’abord les équations non homogènes à deux variables. 11 est clair que nous pouvons exprimer ainsi les fonctions symétriques
qui ne renferment que l’une des variables. Car en éliminant/, nous avons une équation en x, et toutes les fonctions symétriques des mn valeurs de x satisfaisant aux deux équations données peuvent s’exprimer en fonction des coefficients de celle équation : de même pour/. Par exemple, dans le cas de deux sections coniques, x,, y ,,. . . étant les coordonnées des points d’intersection, nous voyons immédiatement comment on peut exprimer des fonctions symétriques telles que
et le seul point qui demande quelques explications est de savoir comment exprimer les fonctions symétriques où entrent les deux variables, telles que
Pour y parvenir, nous introduirons une nouvelle variable f = Xx 4- {xy et, à l’aide de celte équation arbitraire, nous éliminerons x et / des équations données. Ainsi / s’élimine immédiatement en substituant sa valeur tirée de l’équation / = Xx 4- [xy, et nous avons alors deux équations en x des degrés ni et n : leur résultant sera du degré mn par rapport à t, et ses racines seront évidemment Xx, 4- fxy„ Xx 2 4- j xy„..., x, ,/„ x 2 , /j,... étant les valeurs de x et y communes aux deux équations. Les coefficients de cette équation en t contiendront X et [x . Si nous formons la somme des puissances h de ses racines, qui sera (Xx, 4- txy,)* 4- (Xx 2 4- • • • . le
coefficient de X* dans celte somme sera 2xf, celui de X^~'/x donnera 2x* -1 /,, et ainsi de suite.
Quelques mots suffiront pour traduire ce qui précède dans le langage des équations homogènes. Nous voyons immédiatement comment on peut former des fonctions symétriques renfermant seulement deux variables, telles que 2/,z 2 .z,z„ car on les déduit (comme au n° 38) de l’équation homogène obtenue en éliminant l’autre variable. Le seul point qui reste à éclaircir est de savoir comment former les fonctions symétriques comprenant les trois variables, et l’on y parvient pré-
RÉSULTANTS.
cisémenl, comme plus haut, en posant l — lx + uy.
Exemple. — Former les fondions symétriques des coordonnées des quntre /joints d'intersection de deux sections coniques.
L’équation obtenue dans le dernier exemple donne immédiatement •T./i/j-r, = ("C'Y + 4("éT') («"«•'), z, z, z a z, - (nb'Y + i(n/i') (M'), et, d’après la symétrie,
.r, x, x 3 x, = ( bc' ) J 4 4 [bf ) ( ef ),
. - - X, z, ) = 4 [ (oc') («/' ) + («A') (cg 1 ) 4- (ug’){c/i')
Pour prendre un exemple d’une fonction renfermant trois variables, formons qui correspond à - ( x'y ' ) lorsque les équations sont
écrites sous la forme non homogène.
D’après la théorie précédente, nous avons à effectuer l’élimination entre les équations données et l’équation t — Xx-l-fy, et la fonction cherchée sera la moitié du coefficient de \u dans le développement de ïfr’zjajzj). Si le résultat de l’élimination est
BX 4Cu)/ 1 z4 { DV 4- EÀpi 4 4 • • • ,
on aura
2 ( t\ z] z\ z] ) = ( BX 4- C.u) 1 — a A ( D X’ 4- EXu 4 -Fja’)
-(•c,/, z; sfz’ ) = BC — AF..
L élimination donne
B = 4 [(&»')( bg') 4 ( bf')(al,' ) + {bb')(nf') + -i(bh') ( g A')],
C = 4 [ ( "V ) ( af ) 4- ( ag 1 ) ( bhf ) 4 ( ah 1 ) ( bg' ) + a ( ah' ) [f/é ) J ,
E = 4[(«c')(W')4- (bc 1 ) (o//) - a (nf)(hf)
~ *{bg’)(hg') + 4(/if'){/ig)].
52. Former le résultant de trois équations homogènes à trois variables des degrés m, n, p.
En égalant le résultant à zéro, on exprime la condition nécessaire pour que l’on puisse trouver un système de valeurs x, y, z satisfaisant aux trois équations (*). Par conséquent, si tel
(*) Si les trois cqualioris représenté ni des courbes» la condition que lo résultant soit égal à zéro indique que les trois courbes doivent passer par un point commun.
est le cas, en résolvant deux des équations et substituant successivement dans la troisième les valeurs trouvées pour x, y, z, l’un de ces systèmes de valeurs doit satisfaire à celte équation. Dès lors le produit de tous les résultats de la substitution doit être égal à zéro. Soient donc x', y ' , z' ; x", y", z " ,... les systèmes de valeurs satisfaisant aux deux dernières équations et dont le nombre est np (60), substituons ces valeurs dans la première et multiplions- les np résultats ^(x 1 , y', z'), a>(x",y", z"),.... Le produit ne renferme évidemment que des fonctions symétriques de x' ,y , z ',. . ., qui, d’aprèsle n°5i, peuvent toutes s’exprimer en fonctions des coefficients des deux dernières équations : en les exprimant ainsi, on obtient le résultant cherché.
53. Le résultant est une fonction homogène du degré np par rapport aux coefficients de la première équation, du degré mp par rapport à ceux de la deuxième, et du degré mn par rapport à ceux de la troisième.
En effet, chacun des np facteurs y[x', y', z'),... est une fonction homogène du premier degré des coefficients de la première équation, et l’expression des fonctions symétriques au moyen des coefficients ne renferme que ceux des deux dernières équations dont la solution a donné x', y', z',.... Le résultant est donc du degré np par rapport aux coefficients de la première équation : son degré par rapport aux coefficients des deux autres se détermine de même.
54. Le poids du résultant est nmp, c'est-à-dire que si tous les coefficients qui multiplient la première puissance d’une variable z reçoivent l’indice i; ceux qui multiplient z ! , l’indice 2 , et ainsi de suite, la somme de tous les indices dans chaque terme du résultant sera égale à nmp. En d’autres termes, si tous les coefficients qui multiplient z contiennent une nouvelle variable au premier degré, si tous ceux qui multiplient z 5 la contiennent au deuxième degré et au premier, etc., le résultant contiendra cette variable au degré mnp.
Cette proposition se démontre comme au n° 48. En premier
RÉSULTANTS. 67
lieu, il est évident que, si une équation homogène du degré ni est satisfaite par les valeurs x ' , y ' , z', et si on altère cette équation en multipliant chaque coefficient par une puissance de X égale à la puissance de z que multiplie ce coefficient, l’équation ainsi transformée sera satisfaite par les valeurs lx', }.y', z' ; ou, en général, que le résultat de la substitution de lx', ly', z' dans l’équation transformée est égal au résultat de la substitution de x', y', z' dans l'équation primitive multiplié par X". Ainsi, prenons l'équation
x 3 -+- y‘ — s 3 — z , x — zy*,
la transformée est
x 3 +v 3 — X 3 z 3 — l 2 z , x — Xz/ 3 ,
et le résultat de la substitution de ).x', ly', z' dans cette dernière est évidemment égal au résultat de la substitution de x', z' dans l’équation donnée multiplié par X\ Donc, si l’on transforme les trois équalions données en multipliant chaque coefficient par une puissance de X égale à la puissance de z que multiplie ce coefficient, x\ y', z' représentant un système de valeurs satisfaisant aux deux dernières des équations primitives, les transformées seront satisfaites par les valeurs Xx', Xr', z', et le résultat de la substitution de ces nouvelles valeurs dans la première équation sera l m <?(x',y', z'). Le résultant qui est le produit de np facteurs de la forme 9 [x',y,z') t ... sera multiplié par X""r. Soit donc i ub/c m ... un terme du résultant, chaque indice correspondant à la puissance de z que multiplie le coefficient; puisque le changement de ai en X*a*, de b, en X'A/,. . . a pour effet de multiplier ce terme par X-v, la somme h - 4 - est nécessairement égale à mnp.
55. On prouve de même que trois équations sont, en général, satisfaites par mnp systèmes de valeurs; que toute fonction symétrique de ces valeurs peut s’exprimer à l’aide des coefficients, et que l’on peut former le résultant de quatre équalions en résolvant trois quelconques d’entre elles, substituant successivement les systèmes de valeurs ainsi trouvées
dans la quatrième, formant le produit des résultats de la substitution, et enfin exprimant ce produit à l’aide des coefficients des équations par la méthode des fonctions symétriques. Nous formerons ainsi le résultant d’un nombre quelconque d’équations, et nous aurons le théorème général suivant. Le résultant • de k équations à k — i variables indépendantes est une fonction homogène des coefficients de chaque équation dont le degré est égal au produit des degrés de toutes les autres équations.
Si l’on affecte chaque coefficient dans toutes les équations d’un indice égal à l’exposant de l’une des variables qu’il multiplie, la somme des indices dans chaque terme du résultant sera égale au produit des degrés de toutes les équations. Et enfin, si l’on a k équations à k variables, le nombre de systèmes de valeurs qui satisfont à toutes ces équations est égal au produit de leurs degrés.
56. Quand le résultant de plusieurs équations s’annule, ces équations admettent un système de solutions communes, et nous allons montrer comment on peut le trouver sans résoudre les équations. La méthode est la même quel que soit le nombre des variables; pour plus de simplicité, nous commencerons par deux équations
9 = «„ -r™ -t- ■r'"- 1 4- jc* -1 4- . . . = o,
Supposons qu’une racine x — « de la deuxième équation satisfasse à la première et que, par suite, le résultant R soit nul. Nous pouvons dans 9 changer les coefficients a m en a m 4- A»,, en fl„i 4 - A„,, . . . , et la transformée
sera encore satisfaite par la valeur xz=a, pourvu que les quantités A„, A„,,. . . soient liées par la condition
puisque le reste du premier membre de l’équation disparaît par hypothèse lorsque l’on fait x — «. La transformée a donc
RÉSULTANTS.
une racine commune avec <{< et, par suite, le nouveau résultant que l’on obtient en la combinant avec 4 1 est aussi nul. Mais ce résultant se déduit de celui de 9 et '.{/ en y changeant a„ en a m ■+■ A„, ... et il vient
(tUn,
R est nul par hypothèse, et les quantités A„„ . . . pouvant être aussi petites que l’on voudra, les termes qui les contiennent à la première puissance doivent disparaître séparément. Nous avons donc
1 da m + (la,
relation qui doit être identique avec la condition A„ a“ -f- A„i «”"'-4-. . . ,
la seule, ainsi que nous l’avons vu, à laquelle A,„, A„, . . . doivent satisfaire. Il suit de là que les dérivées doivent être proportionnelles à a" -1 , • - , et que l’on peut trouver a en divisant l’une d’entre elles par la suivante.
Corollaire I. — Soient a p , a q deux coefficients quelconques de 9, nous devons avoir, quand R est nul,
r/R . r/R .. r/R . jrfR Ua p " da p ^k " da q ’ da q -k
puisque le rapport des deux premières dérivées est a* et qu’il en est de même des deux autres : il en résulte que la différence
da p (Uiq-t dit q da p k
est nulle quand R l’est aussi et, par suite, admet R comme facteur; en d’autres termes, la fonction
da p da q da r da,
contient R comme facteur lorsque l’on
6o SIXIÈME LEÇON.
Corollaire II. — Il est évident, de même, que les dérivées du résultant par rapport aux coefficients de sont proportionnelles à a", a— 1 ,. . .; on en déduit, comme dans le corollaire précédent, que
d R . <fR .. «m . rfR^
(ta p ' (la p ^k ' ‘ db q ' db q
quand R est nul, et que la fonction
</R d R </R </R da p db q da r db, est divisible par R lorsque
Corollaire III. — Enfin, si nous substituons dans la seconde équation les valeurs de a”, a" -1 ,. .. données ci-dessus, nous avons, quand R est nul,
’* da
da H -i
Le premier membre de cette équation ne peut évidemment admettre le facteur R, puisque les coefficients de 9 s’y trouvent à un degré moindre d’une unité que dans R lui-même. Il doit donc se réduire identiquement à zéro.
57. Les résultats du numéro précédent peuvent se vérifier en calculant les valeurs des dérivées de R. Nous savons (44 que R = 9(01) <p{(3) q>(y ) . . . . Mais, puisque 9(aJ est égal à a m a™ -t- -t- . . . , nous avons
do( a)
■ y = af *
da p
et par suite
rfR
da p
= «MP)? (/)••• + P' ®(*)?(y) - • • + • •
Si a est une racine de 9,
et j— se réduit a da„
de même,
RÉSULTANTS.
(ii
da a
aî<?(P)<p(y)...
et par suite
da p ' da q En multipliant, il vient aussi
et il est facile de voir que la fonction qui multiplie R est
t/'R da p da q 1
retranchons maintenant ^ les termes indépendants de R da r da, 1
se détruiront si p 4- q — r -+■ s, et il restera seulement
t/R t/R da p da q
rfRrfR / t/’R t/ a R \
da r da, \ da p da q da r da,j
On verra de meme que est divisible par R ;
da q db a
mais le quotient n est pas -j — jt -3 — - jT -
1 r d(t p db„ da„ dlK
58. La méthode des 11°’ 56 et 57 s’applique sans difficulté à un nombre quelconque de variables. Pour plus de clarté, nous nous bornerons à trois variables, la même démonstration s’appliquant mot pour mot au cas général. Soient donc trois équations
9 étant égal à a„„x'" -4-. . . -+- a^.x^y^z 1 4 -..., et x',y', z' désignant les valeurs qui satisfont aux trois équations : elles y satisferont encore si nous changeons dans 9 a n:M en -1- A»*, n «p; en a «p v -l- A «£•„.. . , pourvu que l’on ait
mais, comme au n° 56 , on doit avoir aussi
ffiOO
«ft' (la
et, comparant ces deux équations, nous voyons que chaque terme x'* y'? z r/ doit être proportionnel à la dérivée de R par rapport à son coefficient : on aura donc les valeurs de x’ ,y' , z' en prenant les rapports des dérivées de R par rapport aux coefficients des termes dont le rapport est x' ou y' ou z' ; on peut . le vérifier comme au n° 57 . Substituons, en effet, dans 9 les racines communes à 4 1 et x> et soient 9', 9", ... les résultats de ces substitutions : on sait que
Si nous supposons 9' = o, la valeur de cette expression se réduit à son premier terme et l’on voit, comme plus haut, que la dérivée par rapport à chaque coefficient est proportionnelle au terme que ce coefficient multiplie. On peut en déduire les mêmes corollaires qu’au n° 56 .
59 . Si un système d’équations admet deux systèmes de racines communes, non-seulement le résultant R s’annule, mais il en est de même de ses dérivées par rapport à tous les coefficients. Car il est évident que les valeurs des dérivées données au n° 57 s’annulent toutes si 9(01) et 9(p) sont nuis, ou, comme au n° 58 , si 9' et 9" sont tous deux nuis. Dans ce cas, les valeurs des racines communes s’obtiennent à l’aide d’une équation du second degré où figurent les secondes dérivées de R. Les indications suivantes que, pour plus de brièveté, nous donnerons seulement dans le cas de deux équations, s’appliquent textuellement au cas général.
Nous avons ( 57 )
^ = «/>(ÿ9(y)9(ô). ..+ (3cyf’9(a) 9(0). . . + ...,
et
RÉSULTANTS. 63
expression qui, lorsque <?(x) et ç(P) sont nuis, se réduit au seul terme
«rprofy ) <p(d). . . .
On aura de même
et si nous résolvons par rapport à -j l’équation du deuxième
degré
(hi'i ' da p da q
+ *'lÜZ = 0 ’
ses racines donneront les rapports — » —•
afl p?
Si les équations admettaient trois systèmes de racines communes, toutes les secondes dérivées de H seraient nulles, et les racines communes s’obtiendraient en passant aux dérivées troisièmes et résolvant une équation du troisième degré.
60. La méthode d’élimination par les fonctions symétriques est peut-être, au point de vue théorique, préférable à toute autre, parce qu’elle s’applique quel que soit le nombre des variables; cependant, comme elle n'est pas très-expéditive en pratique et ne fournit pas ses résultats sous la forme la plus commode, nous allons, dans celle Leçon, faire connaître d’autres méthodes d’élimination. La suivante est celle qui se présente le plus naturellement : elle est, au fond, identique à la méthode dite du plus grand commun diviseur. Nous avons déjà vu que le résultant de deux équations linéaires
ax -4- b = o, ax' -t- b' — o
est le déterminant ab' — a'b = o. Si nous avons maintenant deux équations du deuxième degré
ax 2 ■+■ bx ■+■ c = o, a’x 2 -h b'x + c' = o,
multiplions la première par a', la deuxième par a et retranchons, il vient
( ab')x +(ac') — o.
Multiplions la première par c', la deuxième par c, retranchons et divisons par x, il vient aussi
(ac')x -4- ( bc ') = o.
Le problème est donc ramené à l’élimination entre deux équations linéaires, et le résultat est
( ac' y ( ba' ) ( bc' ) = o.
