Si nous avons à éliminer x entre deux équations du

troisième degré

ax 3 -4- bx 1 ex + d — o, a' x 3 -4- b'x 3 -4- c' x -4- d' — o,

multiplions la première par a', la deuxième par a et retranchons; multiplions aussi la première par d', la deuxième par d, retranchons et divisons par x : le problème se réduit à éliminer entre les deux équations du second degré

( ab')x 3 -t- (ac 1 )X -t- ( ad') — o, (ad')x 3 -+- ( bd')x -4- ( cd')~o; mais, d’après le numéro précédent, le résultat est [(ad' ) 3 — (ab')[cd')} 3

+ [(ad')(ac') — (ab')(bd')][( ad' )(db') — ( ac' )'( de ' )] = o.

Il faut maintenant remarquer que l’on a identiquement

(ab 1 )(cd' ) -4- (ac' )(db' ) -4- (ad' )( bc') — o ;

par conséquent, lorsque nous effectuons les multiplications, le résultat devient divisible par (ad') et se réduit à

(ad' )> — a (ad')iab' )(cd') — ( ad' )( ac' )(bd') + ( ac' )»( cd' )

-I- ( bd'Y(ab' ) — ( ab ' }( bc' )( cd' ) — o.

L’introduction du facteur étranger (ad') s’explique en remarquant que, si l’on a ad' — a’d, c’est-à-dire si a et a' sont dans le même rapport que d et d', les résultats que l’on obtient, soit en retranchant de la première équation multipliée par a’ la deuxième multipliée par a, soit en retranchant de la première équation multipliée par d' la deuxième multipliée par d, ne doivent différer que par un facteur. Ainsi, dans l’hypothèse ( ad' ) = o, bien que les deux équations primitives du troisième degré n’aient pas de facteur commun, les deux équations du deuxième degré auxquelles nous les avons ramenées en ont un. En général, ce procédé d’élimination introduit des facteurs étrangers et, par suite, il vaut mieux employer d’autres méthodes.

62. j Méthode d’Euler. — Si deux équations des degrés m et n ont un facteur commun du premier degré, on obtiendra

66 SEPTIÈME LEVON.

des résultats identiques, soit en multipliant la première équation par les « — i autres facteurs de la deuxième, soit en multipliant la deuxième par les m — i autres facteurs de la première. Donc, si nous multiplions la première par une fonction arbitraire de degré n — i qui introduit n constantes arbitraires, la deuxième par une fonction arbitraire de degré m — i qui introduit m constantes, et si nous égalons, terme à terme, les deux fonctions de degré ni ■+■ n — i ainsi formées, nous aurons m -+- n équations, entre lesquelles nous pourrons éliminer les»r -+- n constantes introduites qui n’y figurent toutes qu’au premier degré, et nous obtiendrons ainsi, sous forme de déterminant, le résultant des deux équations données.

Exemple. — Éliminer r. et y entre tes équations

ax 1 -t- bxy 4- cy* = o, n'x 1 + b'.ry 4- c'y 1 = o.

Nous avons à égaler, terme à terme,

(Ax4-B/)(«x , 4-&r>'4-c.y 3 ) et (X'x-\-'B'y)(a'x 1 -\-b'xy-\-c'y 1 ); les quatre équations qui en résultent sont

A è 4-B« — A’ b' — BV = o,

Ac-4- B6 — AV — B' b’ = o,