Br — BV = o

Éliminant A, B, A', B’, on obtient le déterminant

a a et' o b a I. V a' c b c' b' o r o c'

63. Cette méthode peut être généralisée de manière à trouver les conditions nécessaires pour que les équations aient deux facteurs communs. Dans ce cas, il est encore évident que nous devons avoir le même résultat, soit en multipliant la première par les n — 2 autres facteurs de la deuxième, soit en multipliant la deuxième par les m — 2 autres facteurs de la première. Donc, comme précédemment, si nous multiplions

la première par une fonction arbitraire du degré n — 2 introduisant n — 1 constantes, et la deuxième par une fonction arbitraire de degré m — 2, en égalant, terme à terme, les deux polynômes de degré m-\-n— 2 ainsi obtenus, nous avons m ■+■ n — 1 équations, et, en éliminant entre m -4- n — 2 quelconques d’entre elles les my-n — 2 constantes introduites, nous avons — i conditions qui n’équivalent évidem-

ment qu’à deux conditions indépendantes.

Exemple. — Trouver les conditions nécessaires pour que les équations ax? -ybx 3 y-\-cxy 3 -ydy 3 = o, a'x 3 + b'x 3 y -\-c' xy 3 -\- d'y* — o, aient deux facteurs communs.

Posons

(kx + By)[cuc i -\-bx 3 y-\- cxy 3 -+- dy 3 )

= (k' x-yB’ y)(a' x* + b' xïy c'xy 3 •+- d'y 3 ),

il vient

ka — k'a' = o,

kb + Ba — A' b' — BV = o,

Ac -f- Bb — AV — BV = o,

Arf+Bc-A'd'— BV- = o,

-4- Bd — BV/' = o ;

éliminant A, B; A', B', on a (en employant la notation du n° 3) le système de déterminants

64 . Méthode de M. Sylvester (*). — Cette méthode est identique, quant aux résultats, à celle d’Euler, mais elle est plus simple dans les applications et plus facilement susceptible de généralisation. Multiplions l’équation du m ,im ‘ degré par V -1 , x n - 3 y, x m ~‘y t ,. . . , et celle du n iim ‘ degré par x^~\

(*) M. Sylvester a donné à sa méthode le nom de méthode dialy tique parce qu’elle dissout en quelque sorte les relations qui existent entre les puissances des variables et traite ces puissances comme des variables indépendantes.

x m ~‘y, x m ~ 3 y 7 ,. . . , nous avons ainsi m -+- n équations entre lesquelles nous pouvons éliminer les m -b n quantités

x m+ ’’~ 3 y 7 ,. . . considérées comme des inconnues indépendantes. Ainsi, dans le cas de deux équations du deuxième degré, multiplions-Ies par x et par y, et nous avons les équations

ax 3 -+- bx 7 y -b cxy 7 — o,

ax 7 y -b bxy 7 -b cy 3 — o, a' x 3 -+- b' x 7 y ■+■ c'xy 7 = o,

a x 3 y -b b'xy 7 -I- c'y 3 = o,

entre lesquelles éliminant x 3 , x 3 y, xy 7 , y 3 , nous obtenons le même déterminant que plus haut.

En général, il est évident que cette méthode fournit le résultant sous la forme d’un déterminant dans lequel n lignes sont formées avec les coefficients de la première équation et les m autres avec ceux de la deuxième : nous retrouvons ainsi la règle déjà obtenue plus haut pour le degré du résultant par rapport aux coefficients des deux équations.

65. Méthode de Bezout. — Cette méthode donne aussi le résultant sous la forme d’un déterminant; mais il se présente sous une forme plus facilement calculable que le précédent. La méthode générale se comprendra mieux en l’appliquant d’abord au cas particulier de deux équations du quatrième degré

ax' bx 3 y 4- ex 7 y 3 -+- dxy 3 -+- ey * = o, a' x' b- b'x‘y -(- c 7 x 7 y 7 -b d' xy 3 -+- e'y* — o;

multipliant la première par a', la deuxième par a et soustrayant, le premier terme de chacune d’elles se trouve éliminé et le résultat, étant divisible par y, donne

( ab')x 3 -b (ac' )x 7 y -b(ad') xy 7 -b (ae')y t — o;

multipliant de nouveau la première par a' x -+- b’ y, la deuxième par ax ■+- by, les deux premiers ternies de chacune sont éliminés et le résultat, divisé par y 2 , donne

(ac')a : 2 -+- [{ad') -l- (bc')] x 2 y -+- [(«e') -+ ■(bd')'\xy‘ -4- (be')y 2 — o;

multipliant maintenant la première par a' x' -+■ b' xy+ c'y’, la deuxième par «x 1 -+- bxy 2 -t- cf 2 , soustrayant et divisant par y 3 , on a

(ad')x 2 4 - [( ae ') -+- (bd’)]x 2 y •+• [(be‘)-\- {cd')~\xy* -4- (ce')^ J = o.

Enfin, multipliant la première para'x 3 -f- b'x'y- 1- c 1 xy* + d’ y\ la deuxième par ax’-t- bx 2 y + cxy’- 1 - dy 2 , soustrayant et divisant par y*, il vient

( ae 1 )x 3 -H { be’)x 2 y + ( ce')xy 2 + (de' )j J = o.

Nous pouvons, entre les quatre équations ainsi formées, éliminer comme au n° 64 x 2 , x 2 y, xy 2 , y 2 , et nous avons pour résultat le déterminant

(ab') ( ac ') (ad')' ( ae '}

(ad) ( ad') + (bc ') (ae' ) -+- (bd') (be‘)

(ad') ( ae' ) -+- ( bd') (be')-h(cd') (ce')

( ae' ) ( be' ) ( ce' ) ( de' )

66. Le procédé que nous venons d’employer est si évidemment applicable à deux équations quelconques du «''"'degré, qu’il est inutile d’en établir une démonstration générale. A l’inspection du déterminant obtenu dans le numéro précédent, la loi de formation se manifeste, et nous pouvons immédiatement écrire le déterminant qui serait le résultat de l’élimination entre deux équations du cinquième degré, en continuant simplement les séries de termes, écrivant (a/') après ( ae ' ). . . . Ce résultant est

(ab')

(ac')

(ad')-t-(bc')

(ac')+(W)

(af’)+(be') (bf)

(ad’)

(ae r )+(bd‘)

(af)+(be')+(cd')

(bf ')+{"') (cf)

(ae')

(af)+(bc)

(bf')+(cc‘)

(cf')M'V) (df)

(bf)

(cf)

(df) (ef)

70 SEPTIÈME I.EÇ 0 N.

On voit que tous les termes du résultant doivent contenir a ou a' , ce qui était évident A priori, puisque, si ces deux coefficients étaient tous deux nuis, les deux équations auraient le facteur commun y — o.

On voit aussi que les termes qui ne contiennent floua 1 qu’au premier degré se réduisent à ( «6 ') multiplié par le résultant des équations que l’on obtiendrait en faisant aeAa'—o dans les équations donnéqs. Car chaque terme du déterminant précédent doit contenir un élément de la première ligne horizontale et un de la première colonne ; mais, comme tous ceux de la première ligne et de la première colonne contiennent a ou a', les seuls termes qui ne renfermeront a et a' qu’au premier degré se réduiront à (ab') multiplié par le déterminant mineur correspondant, qui n’est autre, en faisant a et a 1 = o, que le résultant de degré immédiatement inférieur.

67. Il reste seulement à faire voir que le procédé qui vient d’être employé est encore applicable lorsque les équations sont de degrés différents, et, comme plus haut, nous commencerons par un exemple particulier, savoir par les équations

ax' -t- bx , y-t-cx , y' -+- dxy‘ -t- ey* = o, a 1 x* -t- b'xy -4- c’y' — o ;

multipliant la première par a', la deuxième par ax 1 et soustrayant, nous avons

(ba')x > -t- ( ca')x , y -t- (da')xy* -+- [ea')y > = o.

De même, multipliant la première par a'x -+- b' y et la deuxième par [ax -t- by)x ’, il vient

(ca )x* -h[(cb' )-+-[da' )]x'y- 1 - [( db' ) -+- ( eoi ) ] xy* -+- ( eb' )y > = o.

Ce procédé ne peut pas être continué plus longtemps; mais, si nous joignons aux deux dernières équations deux nouvelles que l’on obtient en multipliant la deuxième des équations primitives par x et par y, nous avons quatre équations pour éliminer x *, z^y, xy*,y*.

Et, en général, quand les degrés des équations sont inégaux, m étant le plus grand, on trouvera que le procédé du n° 65

nous donne n équalions du degré m — i, contenant au premier degré les coefficients de chacune des deux équations primitives; il faut y ajouter ni — n équalions que l’on obtient en multipliant la deuxième par et

l’on peut alors éliminer les m quantités a* -1 , x m ~*y, — entre les in équalions ainsi obtenues. Chaque ligne du déterminant contient les coefficients de la seconde équation, mais il n'y en a que n qui contiennent ceux de la première. Le résultant est donc, comme cela devait être, du n' im ' degré par rapport aux coefficients de la première équation, et du m'**' par rapport à ceux de la deuxième.

68. Méthode de Bezout modifiée par M. Cayley. — Si deux équations o(x, y), y) ont une racine commune, il est possible de satisfaire à l’équation 9 -h Àij; = o, quelle que soit la valeur de h Prenons donc l’équation

9(x, r )^(x',.r')-9(*',/)ij/(x, <r ) = o,

qui, dans l’hypothèse où 9 et 4 1 ont un facteur commun, peut être satisfaite indépendamment de toute valeur particulière de x\ y : nous pouvons, en premier lieu, diviser par xy J —yx' qui est évidemment un facteur, puis égaler à zéro les coefficients des puissances ûex’ et y 1 ; enfin éliminer les puissances de x et y comme si elles étaient des variables indépendantes, et le résultat se présente sous la même forme que par la méthode du n° 65.

Exemple. — Éti miner x et y entre les équations

ax 7 + bxy 4- cy* = o, n'x 7 4- b'xy c'y = o.

L’expression

( ax- ê.rr + er 1 ) (a’.c 1 ’ -+~ b'x'y' -f- c'y' 1 )

— (zr'.r 1 + b'xy-yr'y*) (nx ' 7 + bx'y' ■+■ ey' 2 ),

divisée par xy' —yx', donne

[(ab')x+[ac')y]x’ + [{ac')x-y(bc')y\y' =z o; égalant à zéro les coefficients de x' et y’ et éliminant x et y, nous axons (nc'Ÿ+ [ba')(bc') = o.

’JT. SEPTIÈME LEÇON.

69. Arrivons maintenant à la théorie des fonctions de trois variables dont le résultant, sauf dans quelques cas particuliers, n’a pas encore été exprimé sous forme de déterminant, bien qu'il puisse toujours l’être comme quotient d’un déterminant par un autre.

Nous allons d’abord montrer comment on forme une fonction qui a une grande importance dans la théorie de l’élimination. Étant données h équations a k variables u — o, v = o,

... du du

w = o,..., désignons par h., «,,... les denvees »

du ,

— 7 — le déterminant

w, w, iv-, ...

sera désigné, dans ce qui va suivre, par la lettre J (*).

70. Si plusieurs équations sont satisfaites par un même système de valeurs, J le sera aussi, et il en sera encore de même de ses dérivées par rapport à chacune des variables, lorsque les équations seront du même degré.

La démonstration pour le cas de trois variables sera générale. Nous avons, d’après la théorie des fonctions homogènes,

xu, -4- yu 2 -+- zu j = nu,

xv, -4- yv , -4- zv : , — nv,

xw, -t- y»'-. -4- zw j ~ nw.

Désignons maintenant, comme dans la quatrième Leçon, par U„ V„... les déterminants mineurs que l’on obtiendrait en supprimant la ligne et la colonne qui contiennent u„ v,,...; nous aurons, en résolvant ces équations (28),

J x = U, nu -4- V, nv ■+■ W, nw.

(*) Ce déterminant, employé par Jacobi, est quelquefois désigné sous le nom de Jacobien des équations données.

EXPRESSION DES RÉSULTANTS SOUS FORME DE DÉTERMINANTS, ’j'i

d’où l’on voit immédiatement que, si u, v, w, . . . s’annulent, il en est de même de J. Différentiant celle dernière équation, il vient

, di

i+x-r-—nu

<iV,

WW,

. d l ~dx ~ >rnv ~dx nw (f ■4-n(u l UiH-«'iV l +*V|W 1 ),

di rfU, WV, WW, , T1

x— r — nu—. 1 - ne— h nw — h nto,U,+ e 3 V,-t-U’.,W ,),

dy dy dy dy

mais, en se rappelant (27) que

u, U, -4- e, V, -l- (V.W, — J, MjU, -t- e 3 V, +- ii',W, = o,

nous voyons que, si u, v, w,..., et par suite J s’annulent, il en

, . di di

est de meme de -r- ■> -r-> • • • • dx dy

71. Nous pouvons maintenant exprimer, sous forme de déterminant, le résultant de trois équations du deuxième degré, car J est du troisième degré, et, par suite, ses dérivées sont du deuxième. Nous avons ainsi trois nouvelles équations du deuxième degré qui seront satisfaites par un système quelconque de vaieurscommun aux équations données.

n . . di di di ,

Des six équations u, v, «>, nous pouvons donc

éliminer les six quantités x-, y*, z J , yz, zx, xy, et former ainsi le déterminant demandé.

Si les équations sont toutes trois du troisième degré, J est du sixième et ses dérivées du cinquième. Et si nous multiplions chacune des trois équations données par x J , y*, z % yz, zx, xy, nous avons dix-huit équations qui, combinées avec les trois dérivées de I, nous permettent d’éliminer par la méthode de M. Sylvester les vingt et une quantités x 4 , x'y,... qui entrent dans une équation du cinquième degré. Ce procédé cependant né peut pas être poussé plus loin sans modification.

DISCRIMINANTS.

72. Avant de nous occuper des discriminants, nous allons faire connaître quelques termes et quelques symboles nouveaux qui seront souvent employés plus loin. Dans l’Algèbre ordinaire, on ne s’occupe que d’équations, le but que l’on se propose habituellement étant de trouver les valeurs de x qui rendent une fonction donnée égale à zéro. Dans ce qui va suivre, au contraire, nous n’aurons que rarement à traiter des équations, le sujet de recherches le plus fréquent étant celui dans lequel nous allons entrer dans la Leçon suivante, savoir : la découverte des propriétés d’une fonction qui ne s’altèrent pas par des transformations linéaires. Il convient donc d’avoir un terme spécial pour désigner la fonction elle-même, sans être obligé de parler de l’équation que l’on obtiendrait en l’égalant à zéro : un terme, par exemple, pour désigner

ax‘ -4- bxy -+- cy*

sans avoir à parler de l’équation du deuxième degré ax 1 -t- bxy -t- cy 1 — o.

Nous nommerons forme (*), en général, une fonction homogène qui pourra être du deuxième, du troisième, du quatrième,... degré. Nous distinguerons les formes en binaires, ternaires, quaternaires, etc., suivant qu’elles contiennent deux, trois, quatre, etc., variables. Ainsi, par forme cubique

(") M. Cayley donne aux fonctions homogènes en général le nom de quanlic , désignant par les mots de quadric, culte, qunrtic, quintic , etc., les formes des deuxième, troisième, quatrième, cinquième, etc., degrés.

DISCRIMINANTS. 7 5

binaire, nous entendrons une fonction telle que ax‘ •+■ bx’y -t- cxy ' 1 dy 5 ;

par forme quadratique ternaire, une fonction telle que

ax' -t- by’ -t- cz 1 -+- 1 fyz -+- 2 gzx -4- 2 hxy.

M. Cayley emploie l’abréviation (a, b, c, d)x,y ) 3 pour désigner la forme

ax 3 -+- 3 bx’y -1- 3 cxy’ -4- dy 3 ,

dans laquelle, ainsi qu’il est généralement plus convenable de le faire, les termes sont affectés des mêmes coefficients numériques que dans le développement de (#-}- >-)’. La forme quadratique ternaire ci-dessus s’écrirait, suivant cette notation, (a, b, c, f, g, h{x, y, z) J . Quand les termes ne sont pas affectés de ces coefficients numériques, M. Cayley ajoute une flèche à la parenthèse, écrivant par exemple [a, b, c, d\x,y ) 3 pour

ax‘ -4- bx’y -t- cxy ’ -t- dy 3 .

Enfin, quand il n’est pas nécessaire de désigner les coefficients, la forme du «'*"* degré s’écrit (x,yY, (x, y, z)“.

73. Si l’on différentie une forme à k variables par rapport à chacune de ces variables, le résultant de ces k dérivées se nomme le discriminant de la forme donnée.

Si la forme est du degré n, le discriminant est une fonction homogène des coefficients du degré k(n— 1 )* — • ; en effet, le discriminant est le résultant de k équations du degré n — 1 et (55) doit contenir les coefficients de chacune de ces équations à un degré égal au produit de tous les autres degrés, savoir (n — 1 Ces équations, contenant toutes les coefficients de la forme primitive au premier degré, le discriminant les contiendra au de^é k(n — i)* l . Le discriminant d’une forme binaire sera donc du degré 2(41 — 1), celui d’une forme ternaire du degré 3 (n — i) 1 , etc.

lk. Si, dans la forme primitive, on donne aux coefficients multipliant la première puissance d’une variable x l’indice 1, à ceux qui multiplient la deuxième puissance l’indice 2, et

ainsi de suite, la somme des indices dans chaque terme du discriminant sera constante et égale à n(n — i)* - '. Il a été démontré ( 55 ) que, si chaque coefficient dans un système d’équations est affecté d’un indice correspondant à la puissance de x qu’il multiplie, la somme des indices dans chaque terme du résultant est égale au produit mnp... des degrés des équations. Supposons maintenant que, dans la première de ces équations, l’indice de x° au lieu d’être o soit /; que celui de x' soit l + 1 , et ainsi de suite, il est évident que celte modification aura pour effet d’augmenter lu somme des indices d’autant de fois / qu'il se trouve de coefficients de la première équation dans chaque terme du résultant, et, puisque ( 55 ) chaque terme en contient np..., la somme totale des indices deviendra

mnp . . .4- Inp. . . — (m -h l)np ... .

Maintenant, dans l’exèmple qui nous occupe, il est évident que chaque coefficient des Zi — 1 dérivées U„ U,,... (*) multiplie la même puissance de x que dans la forme primitive U; mais, dans la dérivée U,, chaque coefficient multiplie une puissance de x moindre d’une unité que dans U, et le coefficient multipliant un terme x‘ dans cette dérivée doit être affecté de l’indice Z -+• 1 , puisqu’il provient d’un terme x ,+ ' dans la forme primitive. Il suit de là que la somme des indices du discriminant doit être

(n — i )*-(-(« — t)* l ou n(n — i)* -1 .

Nous exprimerons sommairement les résultats obtenus dans les deux numéros précédents, en disant que l’ ordre du discriminant est k(n — 1 )*■"' et son poids n(n — 1)*-', Ainsi, pour une forme binaire, le poids du discriminant est n(n — 1).

75 . Si une forme binaire contient un faaeur carré, le discriminant se réduit, comme l’on sait, à zéroÇ^car les deux dérivées contiennent chacune ce facteur au premier degré, et dès lors, puisqu’elles ont un facteur commun, leur résultant est

(*) Nous désignons comme plus haut par U,, U„ U„ ... les dérivées de U par rapport

DISCRIMINANTS.

nul. De même, si une forme ternaire pej ainsi

X ’9 H- XY'| -f- Y’y ,

décomposer

X étant égal à ax -+- by -+- cz, Y à a! x -f- b' y -+- c'z, le discriminant doit aussi se réduire à zéro, puisque chaque terme des dérivées contient comme facteur X ou Y et que, dès lors, ces dérivées ont en commun les racines des équations

11 en est encore de même du discriminant d'une forme quaternaire si cette forme peut être exprimée comme une fonction du deuxième degré de trois fonctions linéaires X, Y, Z des variables (*). Nous appellerons racines singulières de la forme ces valeurs qui rendent les dérivées égales à zéro.

76. Nous allons maintenant examiner les propriétés du discriminant d'une forme binaire

nln — i )

U = a„x" -f- na,x n ~'y -t -f-, . . .

Le résultant de U et de U, est égal au discriminant multiplié par a,, et celui de U et de U, est égal au discriminant multiplié par a„ ( ** ). En effet, puisque

«U = xV, -t- jU„

le résultat de la substitution d’une racine de U, dans nü est y'U’i ; en multipliant les résultats de toutes les substitutions semblables, le produit sera/' y" y'"..., soit a, (38) multiplié par les résultats que l’on obtient en substituant ces mêmes racines dans U„ et ce produit n’est autre que le discriminant.

(*) En d’autres termes, la réduction à zéro du discriminant d’une équation algébrique exprime la condition nécessaire pour que cette équation ait des racines égales, et la réduction à zéro du discriminant de l’équation d’une courbe ou d’une surface exprime la condition nécessaire pour que cette courba ou cette surface ait un point double.

("*) Nous faisons abstraction des facteurs purement numériques.

78 s HUITIÈME LEÇON.

77. ExprimtjÉÉt discriminant au moyen des valeurs x„ j,, x„ j„ . . . qui la forme égale à zéro.

Soit

U — ( xj, — jx, ) ( xj, — jx, ) (xj, — jx, ) . . . ( 38 ) ;

on a

U, — J, ( xj , — jx, ) ( xj, — jx, ) . . .

-t-.T,(XJ, — r^'X^a — /*»)••

le résultat de la substitution d’une racine x„ j, de U dans U, est j,(x,j,— j t x*)(xijj— J,x,). . .; le résultat de la substitution de x„ j, est, de même,

Jj(*jJi — Jix,)(x,j, — j,x,). . .;

si donc on multiplie tous ces résultats, le produit est

±jij,j,. . .(x,j,— jiX.J’fx.j, — j.xjj'fxjj, — j,x,)‘

C’est le résultant de U et U,, et si nous le divisons par a, qui est égal à- j, j, j,..., nous aurons, pour la valeur du discriminant,

(*iJj — JiX,)»(X,J, — j.x,)»

Si nous supposons tous lès j égaux à l’unité, nous obtenons le théorème sous la forme bien connue : Le discriminant est égal au produit des carrés des différences des racines de l'équation. Pour plus de simplicité, nous conserverons le théorème sous celte dernière forme.

78. Le discriminant du produit de deux Jonctions est égal au produit de leurs discriminants multiplié par le carré de leur résultant. Car le produit des carrés des différences de toutes les racines se compose évidemment du produit des carrés des différences des racines appartenant toutes deux à une même équation, multiplié par le carré du produit de toutes les différences entre une racine de l’une et une racine de l’autre, et ce dernier produit est le résultant (45). Comme cas particulier, le discriminant de (x — x) 9 (x) est égal à celui de 9 (x) multiplié par le carré de 9 (a). Car si (3, y,... sont les

DISCRIMINANTS.

racines de 9 (x), (a — (J)’ (a — y ) 3 ( (3 — y) J . . . est égal au carré de (a — p) (a — y). . . qui n’est autre que 9 (a) multiplié par le produit des carrés des différences qui ne contiennent pas a.