fl

nous pourrons égaler à zéro le coefficient de chaque puissance de a,. Les termes indépendants de n, sont

ou, en remarquant que ^a,

et l’on a pour la valeur du discriminant

(«J - D4-«Jj4-....

On |>eut de même déterminer à l’aide du coefficient de a,; mais le résultat n’est pas assez simple pour qu’il y ait lieu de le donner ici.

81. Si le discriminant d’une forme binaire se réduit à zéro, celte forme a des racines égales, et les valeurs de ces racines peuvent être obtenues par un procédé analogue à celui que nous avons employé dans la sixième Leçon. Soit

une forme dont le discriminant est nul et qui admet par con-

DISCRIMINANTS.

séquenl un facteur carré (x — «)*. La fonction

V = A„x“ h- A, x"~‘ + Aj x" - ’ ■+- . . .

sera aussi divisible par x — x pourvu que A„ A,, A„... satisfassent à la condition

Et dans ce cas U -t- XV sera divisible par x — a. Soit donc

U-f-XV = (x — a)[(x — at)cp(x) -4- Xi|<(x)].

Il résulte du n°78 que le discriminant de U -+- XV est égal au discriminant de la fonction entre parenthèses multiplié par le carré du résultat que l’on obtient en substituant a à la place de x dans celte même fonction. Ce résultat n’est autre que Xiji(«). Le discriminant de U -+- XV est donc divisible, dans ce cas, par X 3 . Mais, puisque U XV se déduit de U en changeant a , en a, -4- X A„, ..., le discriminant de U -t- XV doit se déduire de celui de U par la même substitution, et, par suite, est

JA

da,

Ja 7

Par hypothèse A = o : il faut encore, pour que le discriminant soit divisible par X*, que le coefficient de X disparaisse. La relation ainsi obtenue entre A„ A,,. . doit être identique avec la relation A,«* -t- Aiat"- 1 +. . . — o, qui est, comme nous l’avons déjà vu, la seule condition à laquelle doivent satisfaire

A», A pour que le discriminant de U 4- XV soit divisible

par X 3 . Les quantités x", a" -1 , a"~\. . . sont donc proportion-

, dA dA d A ... ., . ,

nelles a > -j— » -,— >•••; divisant lune de ces dermeres par d(h d(L\ da 7

celle qui la suit, nous aurons la valeur de a, et nous pouvons poser le théorème suivant : Quand le discriminant se réduit à zéro, ses dérivées par rapport à a,, a,,. . . sont proportionnelles aux dérivées de la forme par rapport à ces mêmes coefficients.