Ce résultat se démontre également en formant les

8a HUITIÈME leçon.

valeurs de •• • en fonction des racines, ce que l’on peut faire en résolvant les n équations

d A dà da , rfA da ,

doc da, da. da , da

Nous connaissons les expressions de A, a,,... en fonction des racines (42, 77); nous pouvons donc tirer de ces n équations . . dA

les n quantités • • •» et il vient

X[(oc — (3)(a — y). .

expression dans laquelle le produit des carrés des différences qui ne renferment pas a est multiplié par la somme des produits n — 2 à n — 2 des différences qui contiennent a,

■££- ==Za'(Ç, — yY(y — d)'(ô — (3)’..., [(a — (3)(a — y)...].

En supposant a = (3, ces expressions deviennent proportionnelles aux facteurs 1 , a, a\ a',. . et, comme au n° 56, on voit que, d’après le théorème du numéro précédent,

da e da q da r da,

est divisible par A lorsque p -4- q = r -+- s. S’il y a plus de deux racines égales, toutes ces dérivées disparaissent, et nous aurons les racines égales en considérant les dérivées secondes du discriminant.

83. La démonstration suivante du théorème du n° 81 s'applique au cas d’une forme à un nombre quelconque de variables. Pour plus de simplicité, nous nous bornerons au cas de deux variables indépendantes, la méthode étant générale. Supposons que les coefficients de U soient des fonctions de

DISCRIMINANTS.

certaines quantités a, b , . . et que l’on fasse varier ces quantités de manière que le discriminant soit encore nul, ce qui donne la condition

tfA

Si le changement effectué sur a, b,... a pour effet de changer x em + dx, y en y -t- Sjr, . . . , les nouvelles valeurs des racines devant également rendre nulles les dérivées U,, U,, U,, nous avons

<fU,

rfU,

rfUi, rfU,..

__ oa + w ô b + .

rfU s . dll,

— - — O CL -f- - J .- o6 + .

da db

—r— $ x -+- —j— $ r -t- . . . = o, dx dy '

</U, , <iU 3 ,

5jr+ ô r + ... = o,

rfU 3 , rfU 3 , ^

dx dy

Multiplions ces équations par x, y, z et ajoutons ; puisque l’on a nU = .r U, + rUi -l- z U 3 , le coefficient de da se réduit à n

</U, rfü, rfü 3 rfü, ,

et, puisque 3 le coefficient de dx sera

(n — i)U, qui disparaît, U, admettant les racines singulières. 11 en est de même pour les autres coefficients; on a donc

■rfU. rfü,.

__a a + aè+.

et les dérivées de A par rapport à a, b,. .. sont proportionnelles aux dérivées de U par rapport à ces mêmes quantités, en admettant que les lettres x, y, z, dans ces dernières, indiquent les racines singulières.

84. Le théorème démontré pour les formes binaires (79) peut s’étendre à toutes les formes. Soit a le coefficient de la plus haute puissance de l’une des variables, b, c, </,... ceux des termes où figure la puissance immédiatement inférieure; le discriminant sera

aô (<p, 4-, x,. . .) [b, c, d,...y.

Ainsi, dans le cas d'une forme ternaire, auquel nous nous bornerons pour plus de simplicité, sr a est le coefficient de z", b, c ceux de z'—'x, z*~‘y, et Si nous faisons a—, o dans le discriminant, le reste de son expression sera de la forme

‘ b‘o -T- bc\ \i -I- c’y.

Pour le démontrer, soit U une forme dont le discriminant est nul, V une autre fonction qui admette les racines singulières de U, le discriminant de U -t- XV sera divisible par X’. Soient, en effet,

U = az" -t- bz n ~' x •+ V = A z" H- B z"~’ x 4-

le coefficient de X dans le discriminant de U -+- XV sera

K <1\ dA + B db

et, d’après le n° 83, • • • seront proportionnels à z*,

z K ~‘x Le coefficient de X est donc proportionnel au ré-

sultat de la substitution des racines singulières dans V, et, par suite, nul.

Maintenant, dans le cas qui nous occupe, le discriminant doit être nul si a, b etc sont nuis, puisqu’alors toutes les dérivées s’annulent pour les racines singulières x — o, y — o. Toute autre forme V s’annulera pour les mêmes valeurs, pourvu que l’on ait seulement A = o. La forme générale du discriminant doit donc être telle que, si nous remplaçons b par b XB, c par c -4- XC, . . ., et si nous faisons ensuite

le résultat soit divisible par X’; en d’autres termes, si nous remplaçons b par XB. c par XC et a par zéro, le résultat sera divisible par X’, ce qu’il fallait prouver.

85. 11 ne nous reste plus, relativement aux discriminants en général, qu’à faire voir que celui d’une forme quadratique à un nombre quelconque de variables s’exprime immédiate-

DISCRIMINANTS.

meni sous forme d’un déterminant symétrique. Et réciproquement, étant donné un déterminant symétrique quelconque, on peut poser une forme quadratique dont il soit le discriminant. La notation la plus simple pour une forme quadratique consiste à employer de doubles indices, en désignant par «,,, a», ... les coefficients des carrés x\ y', z 1 , . . . , et par a,„

a, it . . ceux des produits xjr, xz ,. . . , a„ et a„ étant censés équivalents dans ce système de notation. Le discriminant est .évidemment le déterminant symétrique

j tfii Un ( 1 , 3 .

j U21 Ü13 (li j • • •

Un Û33 ciy.i . . •

86. Invariants. — Le discriminant d’une forme binaire , étant une fonction des différences des racines, ne varie évidemment pas lorsqu’on les augmente ou diminue toutes d'une même quantité. La substitution de x 4 - X à x n’est qu’un cas particulier de la transformation linéaire générale, qui consiste à remplacer, dans une fonction homogène, chaque variable par une fonction linéaire de nouvelles variables, à remplacer, par exemple, dans une forme binaire, x par \x 4- py et y par X'x 4- (j.' y. Pour éclaircir les considérations dans lesquelles nous devons entrer, nous allons d’abord examiner quel est l’effet d’une semblable substitution sur le discriminant d’une forme quadratique à deux variables

ax 2 4- a bxy 4- cy ’.

En transformant les variables, elle devient a(Xx -I- y.yY 4- ib(ïx -t- j 2 j)(X' x 4- n'y ) 4- c(X' x 4- n'x) 7 > et si l’on désigne la fonction transformée par a'x 1 4- a b' xy 4- c'y*,

on a

a' = a).’ 4- 2 . b XX' 4- cX'\

. b' = aXj* 4- b( }.[*.' 4- )/ u) 4- cnn't

et l’on vérifie sans peine que

(a! & — b'*) = (ac - 6*)(Xp' - X»’,

c’esl-à-dire que le discriminant de la transformée est égal à celui de la forme primitive multiplié par le carré du déterminant {"kp' — k'p), que l’on appelle le module de la transformation.

87. Il existe un théorème analogue pour le discriminant d’une forme binaire quelconque. On peut voir à priori qu’il doit en être ainsi, car si une forme donnée admet un facteur carré, sa transformée admettra également un facteur carré, de telle sorte que, si le discriminant d’une forme donnée est nul, celui de sa transformée est également nul. Ce dernier contient donc le premier comme facteur. Le théorème peut se démontrer régulièrement ainsi qu’il suit. Soit

la forme primitif?, son discriminant {TTj^st •'

Le facteur linéaire xy, — yx, de la forif^F^rimitiv^ devieift, parla transformation, ‘ *

j.(XX-f-ftY) — «.(X'X.+ pt'Y),

et si nous le mettons sous la forme Y, X — X, Y, nous avons

Y, = \y, — x„ X, — — py, -4- p' x, ;

par conséquent, si l’on écrit la transformée comme produit des facteurs linéaires (Y,X — X,Y}( Y,X — X,Y). ... on aura des expressions analogues pour Y ( , X,; Y„ X„ . . . en fonction

de y„ x,; y„ x, Nous pouvons, sans difficulté, reconnaître

que l’on a •

( Y,X, — X,Y,) = (kp' — W u)(y,x, — x,y,).

et, par suite, que (Y,X, — X, Yj)*( Y,X 3 — X, Y 3 ) ! . . . est égal à (y,x, — x,y J y(y,x t — x,y 3 ) 2 . . . multiplié par une pi de ku.' — k'p égale au nombre des facteurs contenus |

l'expression du discriminant en fonction des racines. Un théorème analogue est vrai pour le discriminant d’une forme à un nombre quelconque de variables.

La publication, dans le Journal de Mathématiques de Cambridge (nov. 1 84 > ), d’un Mémoire où M. Boole établissait les principes ci-dessus et en faisait quelques applications importantes a été en quelque sorte le point de départ d’une algèbre nouvelle. Quelque temps après, M. Cayley se proposa de déterminer à priori quelles sont les fonctions des coefficients d’une équation donnée qui jouissent de cette propriété d’ invariance; propriété consistant en ce que, si l’on transforme l’équation par une substitution linéaire, la fonction analogue , des coefficients de la transformée soit égale à la fonction primitive multipliée par une quantité indépendante des coefficients. Le résultat de ses reché^hes fut de découvrir que cette propriété n’est pas particulière aux discriminants,' el’de faire connaître d’autres fonctions importantes qui la possèdent également, quelques-unes délire elles contenant non -seulement les coefficients, mais les variables elles-mêmes, et conservant aVec l'équation primitive des relations qu une substitution linéaire ne modifie pas. En exposant cette théorie, pour plus de brièveté nous n’écrirons que trois variables, mais le lecteur doit entendre que les mêmes procédés s'appliquent à un nombre quelconque de variables.

88. Supposons donc que les variables d’une fonction homogène quelconque à k variables soient transformées par les substitutions

y = /,X -i- fi, Y -t- v,Z -+-..., z XjX -t- f/,Y -i - v s Z -t- • . . ,

et désignons par A le module de la transformation, c’est-à- * dire le déterminant qui a pour éléments les coefficients de la transformation X,, p„ v„. . ., h, p-t, v,,.'. . .

.'11 est évident que l’on ne peut pas, en général, déterminer le§ coefficients p de telle sorte qu’une fonction donnée

ax" -+- . . prenne, par la transformation, une autre forme également donnée a'X"-+- En effet, si nous effectuons la

substitution dans ax" -i- . et si nous égalons les coefficients ainsi obtenus à ceux de a'X" -t-. nous aurons, comme au n° 8G, une série d’équations a' — a)" -t-. . . dont le nombre sera égal à celui des termes que renferme une fonction générale du degré à k variables. Mais, pour satisfaire à ces équations, nous ne disposons que de k‘ constantes X,, et

ce nombre sera, en général, inférieur à celui des équations auxquelles il s’agit de satisfaire (*). 11 suit de là que, si une fonction ax" - h... peut être transformée en une autre fonction a'X" -+-• . . , il doit exister des relations entre les coefficients a, b,. a' , b',. ... En effet, nous n’avons qu’à éliminer les k 1 constantes inconnues entre les équations a' = a/." -f-..., et nous aurons une série de relations entre a, a',. . . dont le nombre sera évidemment égal à la différence qui existe entre celui des équations et /r*. Ainsi, dans le cas d’une forme binaire, le nombre des termes d’une fonction homogène de degré nesu + i. Donc, si dans une forme ax" -+-... nous remplaçons x par >, X -t- ;a,Y, y par X,X -+- ju,Y, et si nous égalons les coefficients de la transformée à ceux de a'X" -t-. . nous aurons n -t - 1 équations renfermant a, a',..., X„ et en éli-

minant les quatre quantités X,, X„ jut,, /x„ nous obtiendrons un système de conditions équivalent à n — 3 relations indépendantes entre a, b,..., a 1 , b', ... On verra par la suite que ces

(*) Le nombre des termes de la forme générale du n teme degré à A variables ( « — i } f n — f— a ) . . . ( »* -*- À* — i )

est x y, â * el " est facile de voir que les seuls cas dans

lesquels ce nombre ne surpasse pas A* sont: i° quand n = a (dans ce cas, il se réduit à ^*A(A-+-i), valeur plus petite que A% k étant entier); *2° quand

A = a, n = 3 , (les deux nombres ont alors la même valeur 4 )» c’est-à-dire que les seuls cas dans lesquels une fonction donnée soit susceptible de prendre par la transformation une forme quelconque, sont : i° celui d’une forme quadratique à un nombre quelconque de variables, 2° celui d’une forme cubique à deux variables.

relations peuvent s’écrire ainsi :

?(«> b,.. .) = <p(rt', b',...);

en d’autres termes, qu’il y a des fonctions des coefficients a, b, ■ • ■ qui conservent la même valeur en passant de la forme primitive à sa transformée. Le procédé que nous venons d’indiquer n’est pas celui que nous emploierons pour trouver ces fonctions, mais il fait comprendre à priori leur existence, et montre combien l’on doit s’attendre à en trouver qui soient indépendantes les unes des autres.

89. On appelle invariant toute fonction des coefficients d’une forme telle que, si on effectue dans la forme une substitution linéaire, la fonction semblable des coefficients de la transformée soit égale à la fonction primitive multipliée par une puissance du module de la transformation, c’est-à-dire que l’on ail

Lorsque p — o, la fonction est un invariant absolu, c’est-à-dire qu’elle n’est pas modiliée par la transformation, lors même que A serait différent de l’unité. Si une forme a deux invariants ordinaires, il est aisé d’en déduire un invariant absolu. En effet, si nous avons un invariant 9 qui, dans la transformation, se trouve multiplié par Ar, et un autre invariant i{/ qui se trouve de même multiplié par A 1 , il est évident que le quotient de 9 » par sera une fonction qui restera invariable malgré la transformation.

Il résulte de ce qui précède qu’une forme binaire quadratique ou cubique n’a d’autre invariant que son discriminant (87). S’il y en avait, en effet, un second, on pourrait déduire de la combinaison des deux invariants une relation

Mais nous avons vu (88) qu’il ne saurait y avoir d’équation de condition entre a, b,. . a', b',. . , puisqu’à l’aide des quatre constantes X„... dont nous disposons, nous pouvons trans-

former une fonction quadratique ou cubique de telle sorte que les coefficients prennent telles valeurs que l’on voudra. On voit, de la même manière, qu’une forme quadratique à un nombre quelconque de variables n'a d’autre invariant que son discriminant.

90/ De même qu’une forme unique, un système de formes peut avoir des invariants. Supposons un certain nombre de fonctions ax"-i-..., a'x*-h.... Si l’on effectue dans toutes ces fonctions une même substitution linéaire, elles deviennent AX"-t-.... A'X" -+-... : une fonction des coefficients sera un invariant si la fonction semblable, composée avec les nouveaux coefficients, est égale à la fonction primitive multipliée par une puissance du module de la transformation, c’est-à-dire si l’on a

L’exemple le plus simple d’invariants de cette espèce se rencontre dans le cas d’un système d’équations linéaires : le déterminant d’un pareil système est un invariant; on le voit immédiatement en se reportant à la définition de l’invariant et à la démonstration du théorème sur la multiplication des déterminants (23).

Si l’on a un invariant d’une forme unique, on peut en déduire une série d’invariants pour des systèmes de formes du même degré. Pour faire comprendre l’esprit de la méthode, nous l’appliquerons d’abord à un exemple très-simple. Nous avons vu (86) que ac — b 7 est un invariant de la forme quadratique ax 1 ibxy ■+- c/% et nous allons en déduire un invariant pour un système de deux formes semblables. Supposons que, par une transformation linéaire, ax 1 4- ibxy -+- cy 1 devienne AX 1 ■+■ 2 BXY -+- CY 1 , et que a' x' -t- 7.b' xy 4- c'y’ devienne de même A'X’ - 4 - aB'XY - 4 - C'Y 1 , évidemment, par la même transformation, la forme

( a ■+■ ka' )x 1 -+- 2 ( b 4 - kb' )x y +(c + kc' )jr* »

92 NEUVIÈMB LEÇON.

( h étant une constante quelconque) deviendra

(A -h h K')\- +a(B + A-B')XY 4 - (C 4- /fC')Y ! .

Formant l’invariant de cette dernière (86), il vient

= A’[(« + Ira' )(c 4- Ire' ) — ( b 4 - Irb' )’].

Mais A- étant arbitraire, les coefficients des diverses puissances de A doivent être égaux dans les deux membres, et nous avons ainsi, non-seulement les deux relations déjà connues,

( AC — B 3 ) = A 3 ( ac- — b‘), ( A'C’ — B' 3 ) = A 3 («V — A' 1 ),

mais encore

{AC' 4- A'C — 2 BB' ) — A 3 ( ac' 4 - a' c— ibb' ),

équation que l’on peut aussi vérifier à l’aide des valeurs de A, B, . . . données au n° 86. La quantité ac' 4 -a! c — t bb ' est donc aussi un invariant.

En Suivant absolument la même marche, si l’on a un invariant d’une forme ax" 4-. . . et que l’on demande d’en déduire des invariants pour un système de deux formes ax" 4 -..., a! x* 4-..., nous n’aurons qu’à remplacer, dans l’invariant donné, a par a 4- ka', b par b 4- h b', . . . et le coefficient de chaque puissance de Ir dans le développement sera un invariant. Effectuant ce développement par la formule de Taylor, le théorème auquel nous avons été conduits peut s’énoncer ainsi : Si l’on a un invariant d’une forme ax" 4-. . et si l’on effectue sur cet

invariant l’opération a' — 4- é'-jr 4-. • - , on obtiendra un in- (la db

variant du système des deux formes ax" + . . . , a’x " 4 - On

peut répéter la même opération, et l’on aura un autre invariant du système, ou bien encore on peut effectuer l’opération a" 4 -b" 4-..., ce qui donnera un invariant d’un

da db

système de trois formes, et ainsi de suite. Ce dernier procédé

donne les invariants que l’on obtiendrait en remplaçant a par a -t- ka' -t- la" et prenant les coefficients des diverses puissances de h et I. On aura de même des invariants pour un nombre quelconque de formes.

91. Covariants. — Un covariant est une fonction comprenant non-seulement les coefficients d’une forme, mais aussi les variables; et telle que, si l’on effectue dans la forme une substitution linéaire, la nouvelle fonction des coefficients et variables de la transformée soit égale à la fonction primitive multipliée par une puissance du module de la transformation, c’est-à-dire que si l’expression ax" -+-... devient, par la transformation, AX" -h . . . , le covariant (*) satisfera à l’équation

<p(A,B, . . , X, Y,. . .) = Arq)(«, b,. . x, y,. .

Tout invariant d’un covariant est un invariant de la forme primitive. Cela résulte immédiatement de la définition. Soient ax “ -4-... la forme donnée, a'x m -4-... son covariant, AX"

A'X"' . ce que deviennent ces fonctions par une substi-

tution linéaire. Un invariant du covariant est une fonction de ses coefficients, telle que

®(A', B' )= Artp(a', b',...).

Mais, par définition, A', B', . . . sont à une puissance près du module composés avec A, B,. . .; de même que a', b',. . . le sont avec a, b,. . . Par conséquent, si l’on exprime ces fonctions au moyen des coefficients de la forme primitive et de sa

(*) Dans la géométrie des courbes et des surfaces, toutes les transformations de coordonnées s’opèrent par des substitutions linéaires. Un invariant d’une forme ternaire ou quaternaire est donc une fonction des coefficients dont la réduction à zéro exprime quelque propriété de la courbe ou de la surface indépendante du choix des axes, telle que l’existence d’un point double; un covariant représente une autre courbe ou une autre surface, dont tous les points ont avec la courbe ou la surface donnée quelque relation indépendante du choix des axes. De là resuite l’importance géométrique de la théorie des invariants et covariants.

transformée, on a

| ( A, B, . . . ) = Aï 4 1 ( a, b,.. .),

c’est-à-dire que la fonction >}> est un invariant. De même tout covariant d’un covariant est un covariant de la forme primitive.

92. Nous allons, dans les deux paragraphes qui suivent, poser de nouveaux principes qui conduisent à une importante série de covariants.

Si, dans une forme u, nous remplaçons x par x 4 - kx“ , y par /4-Ay', etc., x',y', z' devant être transformés par la même substitution que x, y, z, les coefficients des diverses puissances

ront les premier, deuxième, troisième, etc., émanants (*) de la forme. Chacun d’eux est un covariant. Nous obtiendrons, en effet, le même résultat, soit en remplaçante pare -t- kx' ... et transformant ensuite e, x',... par des substitutions linéaires, soit en effectuant d’abord ces substitutions et remplaçant ensuite X par X -t- A-X',. . . . Car on a évidemment

X,X 4-u,Y 4- v,Z4- A (X,X' -i- (i, Y' + vZ')

Donc, si par la transformation u devient U, on aura le même résultat soit en remplaçant dans u, x par e 4- Are' ... et effectuant ensuite les substitutions, soit en remplaçant dans U, X par X 4- A-X'..., et, puisque k est indéterminé, les coefficients de k seront égaux dans les deux membres, ce qui revient à

«, se-

de k, qui sont tous de la forme ^e' ^ 4 - y

, du . du * dx + ~ T Ty

93. Si l’on considère un émanant comme fonction des seules variables x', y',. . ., en regardant momentanément x, y, . . .

(*) En Géométrie, les émanants représentent les courbes et surfaces polaires d'un point par rapport à une courbe ou surface donnée.

comme constantes, et que l’on calcule ses invariants dans cette hypothèse, chacun d’eux, considéré comme fonction des variables x, y , . . ., sera un covariant de la forme primitive.

Nous venons de voir que l’émanant x'? -j~ -+- • • . devient

rfrU

X’p lorsque l’on remplace x' par X,X' -+- p, Y' -4-. . .

et x par X,X p, Y -h ... . 11 est évidemment indifférent que

les deux substitutions soient simultanées ou successives. Donc,

si en transformant x', y', . . . seuls, l’expression x’/’-J 1 *. + . . .

devient aX'p les coefficients a, . . . seront des fonctions

d e x, y,. . . qui, lorsque l’on transformera x, y , . . . , deviendP U

dront

dXP 1

• • Mais un invariant de l’émanant donné, consi-

déré comme fonction de x', y',..., est par définition une fonction de ses coefficients, qui ne diffère que par une puissance du module de la fonction correspondante des coefficients transformés a,.... Puisque, ainsi que nous l’avons vu, les

dns

coefficients a,... deviennent •• • lorsque l’on transforme

x, y, .... l’invariant donné sera une fonction de J dxP

qui, lorsque l’on transformera x, y, . . ., ne différera que par

une puissance du module de la fonction correspondante de

dp U

Ce sera donc un covariant de la forme primitive.

Ainsi, par exemple, il a été démontré (86) que, si la forme binaire ax 1 -+- nbxy -t- cy* a pour transformée

on a

AX 1 -t- 2 BXY -t- CY%

(AC — B 1 ) = A a (ac — b');

on en conclut qu’en considérant le second émanant

( x 'jï + r'Ty)' u

d’une forme de degré quelconque, on a aussi

( rf,c V-

dUi

rfX 2 dY ’

\d\dYj ~

L dx-

\dxdy)

théorème dont nous donnerons encore d’autres démonstrations.

94. En général, si l’on prend le second émanant d’une forme à un nombre quelconque de variables et que l’on calcule son discriminant, on obtiendra un eovariant appelé fonction de Hesse ou simplement Hessien.

Nous avons remarqué (8.5) que Je discriminant de toute fonction quadratique peut s’écrire sous forme de déterminant. Ainsi, en employant, comme nous l’avons déjà fait ailleurs, les indices 1 , 2 ,... pour indiquer la différentiation par rap-

port à j, j, .

., de telle sorte que «, , représente

~dx*'

l’éma-

criminanl s écrira

sera u

. , et son dis-

j Wji

95. Nous avons vu (90) que le déterminant d’un système d'équations linéaires est un invariant du système. Etant donc données des formes u, v, te,. . ., si l’on forme leurs premiers émanants x' u, -t- y' u, -+- 2 ' u., - 4 -. . ., le déterminant