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tv.
sera un eovariant. C’est le déterminant de Jacobi déjà mentionné plus haut (G9) : celui de Hesse n'est autre que la fonction J calculée pour le système des dérivées u„ «„... d’une même forme.
transformations linéaires.
96. Contrevariants. — Lorsque l’on transforme linéairement un groupe de variables x, y , . . il arrive fréquemment que d’autres variables liées à x, y , . . . sont aussi transformées linéairement, mais à l’aide d’une substitution différente. Si, comme plus haut, les équations qui lient x, y, z aux nouvelles variables sont
x — ?.,X -+- y, Y -h v,Z, y — X,X -+- y, Y -+- VjZ,
les variables 75 , 'Ç sont dites transformées par la substitution inverse, si les nouvelles variables X„ Y,, Z, s’expriment en fonction des anciennes par les équations
Z, = v,ç -h v,n -+- v.iÇ;
dans lesquelles les coefficients sont les cléments du déterminant (Xi/ajVj) lus verticalement, tandis que dans la substitution directe ils étaient lus horizontalement : dans la première substitution, les anciennes variables sont exprimées en fonction des nouvelles, et, dans la deuxième, les nouvelles en fonction des anciennes (*). Ainsi établie, la relation est évidemment réciproque. Tirant en effet les valeurs de 2, vj, ’Ç en fonction de X,, Y,, Z,, il vient (28)
L„ M étant les déterminants mineurs déduits de (?.,«, v,)
par la suppression de la ligne et de la colonne qui contiennent X, ou y,,.. . .
Lorsque deux groupes de variables x, y, z; 2, vj, £ seront transformés, comme ci-dessus, par des substitutions inverses.
(*) On exprime quelquefois ce genre de relation d’une manièfe abrogée, en disant que le9 deux groupes de variables sont cogrcdieuts ou conlragredienls suivant qu’ih doivent être transformés par une même substitution ou par des substitutions inverses.
t)8 NEUVIÈME LEÇON.
l'un d’eux sera désigné, dans ce qui suit, par des lettres grecques, et habituellement par les lettres x, y. Exposons d’abord deux des cas les plus importants dans lesquels s’emploie la substitution inverse.
97. Quand on transforme linéairement une fonction de x, y, z en une autre fonction de X, Y, Z, les dérivées par rapport aux nouvelles variables s’expriment linéairement au moyen des dérivées par rapport aux anciennes, mais par la substitution inverse. On a, en effet,
d d dx d dy d dz 7ÏX ~ d^TlX^dÿdX + dzd\ ~ h ""
Mais, des expressions de x, y ,. . . en fonction de X, Y,. . ., on tire
dx dy . dz .
d\~ " r/X ’ rfX ”
d’où
d ^ d . d . d dx-*'2ï + *’rfP + * 3 3i H '-- ; .
de même
d d d d TïŸ-^di^^Ty^^Tz^----
Les symboles ^ se trouveront donc, lorsque l’on
transformera linéairement x, y, z, transformés eux-mêmes linéairement par la substitution inverse, suivant la règle du numéro précédent.
Si l’on indique, comme plus haut, par u,, m„. . . les dérivées d’une fonction h, et par U,, U„. . . celles de sa transformée U, nous avons démontré que l’on a
U, = i.| Uj -t- X, U-i ~+~ X 3 Ma, U, JH, U, -+- p. Ma -+- Ma, ....
Par conséquent, si h,, m„ u 3 se réduisent à zéro, il en sera de même de U,, U,, U,; mais nous savons que m„ m„ h, ne se réduisent tous à zéro que quand le discriminant du système est nul, et, dans ce cas, nous voyons que celui du système trans-
formé sera aussi nul et contiendra, par suite, le premier comme facteur, ainsi que nous l’avons déjà établi (87).
98. En géométrie plane, si x, y, z représentent les coordonnées trilinéaires d'un point, et x\ -+■ yn 4- aÇ = o l'équation d’une droite, %, r„ £ peuvent être appelés les coordonnées tangentielles de cette droite. Si l’on rapporte à de nouveaux axes en faisant x = X,X h- . . . , l’équation de la droite devient
H(XiX-i- ja,Y 4-*Vi Z) -r tj (X S X 4- 4- v.Z) 4- ^ ().,X -j- y.i Y 4~ v 3 Z),
que l’on peut écrire sous la forme
XX, + YY,H-ZZ,--o,
en faisant
X, — \ -4- X,y; -H ï, \ i — fJ., £ 4- -4- w. s ï,
En d’autres termes, lorsque les coordonnées d’un point sont transformées par une substitution linéaire, les coordonnées tangenlielles d’une ligne sont transformées par la substitution inverse. De même, dans la géométrie' à trois dimensions, les coordonnées tangenlielles d’un plan et celles d’un point sont transformées par des substitutions inverses. Quand on rapporte à de nouveaux axes, toutes les coordonnées x,y, z, iv; x', y', z', «/, représenlant des points, sont transformées par la même substitution x = X,X 4-. . ., x' ==X, X' +. .. ; tandis que les coordonnées tangenlielles d’un plan quelconque le sont par la substitution inverse.
Nous nous servirons souvent du principe posé ci-dessus, que la fonction
•^£4- t 4‘/î4--sÇ — XXi 4- YY, 4 - ZZ,,
dans laquelle x, y, z doivent être transformés par la substitution directe x = J,X4 giY 4-v,Z, et £, yj, Ç par la substitution inverse X, = X,£ 4 - A, -fi + XsÇ, reste invariable par cette double transformation.
