Si une forme ax " devient par la transformation

A X"-i-..., nous nommerons contrevariant ( * ) une fonction renfermant les coefficients de la forme et des variables Ë, n,..., qui sont censées transformées par la substitution inverse, si cette fonction ne diffère que par une puissance du module de la fonction correspondante des coefficients et des variables de la transformée, c’est-à-dire si l’on a

ç(A, B,. ... X,, Y, ,...) = A r<p(rt, Ë, v;,..

Des fonctions de ce genre se présentent souvent en géométrie. Si nous avons, par exemple, une équation exprimant la condition nécessaire pour qu’une droite ou un plan ait avec une courbe ou une surface donnée une relation indépendante du choix des axes, comme, par exemple, une condition de contact, et si nous rapportons le tout à de nouveaux axes, il est évidemment indifférent de transformer la relation dont il s’agit en remplaçant les anciens coefficients par leurs valeurs en fonction des nouveaux, ou bien de la déduire de l’équation transformée de la courbe de la même manière qu’on l’avait déduite de l’équation primitive. Les deux expressions de celte condition ^

ne diffèrent donc que par un facteur. *

100. Outre les covariants et les contrevarianls, on peut encore imaginer des fonctions contenant les deux séries de variables et ne différant que par une puissance du module des fonctions transformées correspondantes, c’est-à-dire des fonctions telles que l’on ait

<p(A, B,..., X, Y,..., X,, Y,,...) — Ar© (a, b,..., x ,.r,..., Ë»

(*) Le premier exemple de contrevariant a etc donné par Gauss dans ses Di st] . arithm . Il désigne sous le nom de forme adjointe le contrevariant de la forme quadratique ternaire. Les géomètres allemands ont conservé une dénomination analogue, zugehvrige form. Celle de contrevariant est préférable.

Nous les nommerons covariants mixtes (* ). La fonction la plus simple de cette espèce est x\ -4- elle est invariable par la transformation (98), et, par suite, est un covariant mixte pouvant être adjoint à une forme quelconque.