Soit I un invariant d’une forme

a,x n 4- na,x'‘-'y 4- nb, x"~' z -i — n(n — i )a,x“-*r* 4- . . . ;

on peut en déduire un contrevariant par la méthode employée au n° 90. Si la forme proposée devient, par la transformation, A„X" + ..., la fonction xï+yri + zÇ devenant elle-même XX, 4 Y Y, -(- ZZ,, il suit de là que

-f- . . . -f /i (jt £ -t- yo 4- J C, )“

= A.X'4-...4-*(XX, + YY, 4-ZZ,)».

Mais un invariant de la forme primitive remplit la condition

Calculant le même invariant pour la nouvelle forme, on aura

? (A.+A X:,A, + /, Xr'V„...)=A^(fl.-t-/f?", «, 4- hiT' /i,...).

k étant arbitraire, nous pouvons égaler les coefficients des mêmes puissances de h dins les deux membres : ces coefficients, d'après le théorème de Taylor, sont tous de la forme

Nous avons démontré qu’ils ne diffèrent que par une puis- __ 4L

(*) Ces fonctions, que l’on pourrait, comme l’a proposé M. Salmon, appeler diva riants , sont désignées dans les travaux de MM. Aronhold et Clebsch sous le nom de twischvnformcn. M. Syltester, qui emploie le mot générique de concomitant pour désigner l’ensemble de toutes les fonctions dont les relations avec la forme primitive ne sont pas altérées par une transformation linéaire, a lopte la dénomination de concomitants mixtes.

sance du module de la fonction correspondante déduite de l’équation transformée. Ce sont donc des contrevariants, puisqu’il a été constamment admis que £, y;, Ç doivent être transformés par la substitution inverse. M. Sylvester donne le nom d ’évectnnls aux contrevariants déduits d’un invariant, suivant

la règle ci-dessus. Ainsi £" ^ -4- -t-, . . est le premier

évectant. Il faut remarquer que les coefficients sont supposés, dans la forme primitive, affectés des mêmes facteurs numériques que ceux du développement de (ï + r+J^, tandis qu’il n’en est pas de même dans l’évectant.

En comparant avec le n°90, on voit que la fonction £"^--K..

peut être considérée, soit comme un conlrevariant de la forme donnée, soit comme un invariant du système que l’on obtient en la combinant avec la fonction linéaire x\ -t- rn -4- zÇ. La théorie des contrevariants peut donc être renfermée dans celle des invariants.

Si l’on effectue l’opération 4 — 4- . . . sur un covariant, on

cia,

obtient un covariant mixte, car on démontrerait, de la même manière, que le résultat, qui sera évidemment une fonction renfermant les deux groupes de variables, se transforme en une fonction semblable.

Exemple I. — L’expression abc 4- 2 fgh — af 1 — bg 1 — c/i 1 étant le discriminant, et, par suite, un invariant de la forme ternaire

tta? 4- by 7 4- cz- -+- xfjz — f- igxz -t- a hay,

la fonction

2 ( g/i - (ij )r,t-+- 2 ( Af— bg ) -4- 2 [fg — c/i ) in

sera un conlrevariant. Géométriquement, c'est l'équation tangentiellc de la section conique représentée par la forme donnée.

Exemple II. — Étant donuées (leux formes quadratiques ternaires ax 1 4- . . ., a'xr +. . ., on sait que l’expression a'(bc —/*)+•• est un

invariant commun (90); effectuant l’opération H ! -^-4-..., >1 vient

( bc 4 - b'c — -iff ')!■■■+- (en' + c'a — 2gg')r, 3 4 - [ab‘ ■+- a’ b — iM') ï ! 4- a [g/i' 4 - g 1 à — af — <>'f) 4 - a (A P 4- A’/— Ag' — A'g)Ç5

Ce contrevariant pourrait encore s’obtenir en effectuant l’opération