sur le contrevariant de l’exemple précédent
Géométriquement, il exprime la condition qui doit être satisfaite pour qu’une droite soit coupée harmoniquement par les deux sections coniques.
102. Quand le discriminant d’une forme s’annule, il existe un groupe de racines singulières x ' , y', z' (géométriquement, ce sont les coordonnées du point double de la courbe ou de la surface représentée par celte forme), et, dans ce cas, le premier évectant du discriminant sera une puissance n limt de
En effet, l’évectant ne variant pas par la transformation, il suffit de voir ce qui arrivera dans un cas particulier. Mais, si le discriminant est égal à zéro, la forme peut être transformée de telle sorte que les nouveaux coefficients de x ", x n ~'y, x’-'z deviepnent nuis, et que la racine singulière soit y — o, z = o (ce qui revient, géométriquement, à supposer l’origine des coordonnées au point double); mais il a été prouvé (84) que le discriminant est de la forme
Si a„ a,, A, s’annulent, non-seulement le discriminant, mais
toutes ses derivees s annulent aussi, excepte Levcctant
se réduit donc à multiplié par £“, terme unique auquel se
réduit [x 1 \ + y'n 4- z'Ç)" quand on fait zr' = i, y' — o, z' — o.
Ainsi, lorsque le discriminant d’une forme quadratique ternaire est nul, l’équation représente deux lignes droites; le
NKlIVlfeXB LEÇON.
contre variant
[bc — f*)t? -4* («i — g 2 )-/-, 1 -4-...
devient un carré parfait, et l’on aura les coordonnées x', y', 3', du point d'intersection, en l’identifiant à l’expression
(x 1 \ -h y' -fi -I- 3'$)’.
Si la forme admet deux groupes de racines singulières, toutes les premières dérivées du discriminant se réduisent à zéro, et son second évectant devient une puissance exacte de
(x'i+y'v j + +y'ti 4- z"t),
x’, y', z'\ x", y", 3" étant les deux groupes de racines singulières, et ainsi de suite.
FORMATION DES INVARIANTS ET COVA RIANTS.
FORMATION DES INVARIANTS ET COVARIANTS.
103. Après avoir fait connaître ce que l’on entend par invariants, covariants, etc., nous allons indiquer les méthodes à l’aide desquelles on peut lormer ces fonctions : trois méthodes seront exposées dans celte Leçon, et une quatrième dans la Leçon suivante.
Fonctions symétriques. — Celte méthode n’est applicable qu'aux formes binaires. Toute fonction symétrique des différences des racines est un invariant, pourvu que chaque racine y Figure le même nombre de fois ( * )- Il est évident qu'un invariant doit être une fonction des différences des racines, puisqu’il ne change pas lorsqu'on remplace x par x -+- X. La transformation linéaire la plus générale revient à changer
chaque racine x en
ta -+- y.
et, dans cette opération, la diffé-
rence de deux racines x — £ devient
pour qu’une fonction dés différences puisse, après sa transformation, ne différer de sa valeur primitive que par un facteur.
(*) Si l’on désigne dans l'équation par le coefficient de la plus haute puissauce de x, il faut diviser par ce coefficient pour obtenir l'expression de la somme, des produits, etc., des racines, et toutes les fonctions symétriques sont des fractions contenant au dénominateur des puissances de <r a . Lorsque nous disons qu’une fonction symétrique des racines est un invariant, nous entendons qu'on l’a rendue entière en la multipliant par une puissance suffisamment élevée de o 0 , ou, ce qui revient au même, qu’après avoir formé la fonction symétrique en supposant le coefficient de x* égal à l'imité, on la rend ensuite homogène en multipliant chaque terme par une puissance convenable de a $ .
il est nécessaire que le dénominateur soit le même pour tous les termes : la fonction doit donc être un produit de différences dans lequel chaque racine se présente le même nombre de fois. Ainsi, pour une forme biquadralique, la fonction
est un invariant, parce qu’après la transformation tous les termes de la somme ont le même dénominateur. Mais il n’en est pas de même de 2(a — (3) ! , le dénominateur du terme (a — [3)* étant
et celui du terme (y — à y
104. On peut encore établir cette proposition d’une manière peut-être plus simple, en écrivant l’équation sous la forme homogène. Nous avons vu (87) qu’en changeant x en }.x -i- yy, y en ?•'*?-+- y-' y, la quantité x,y\ — x,y, -devient
et que, par suite, toute fonction des déterminants x,y, — x,y, est un invariant. Mais (38) toute fonction des racines exprimée à la manière ordinaire se ramène à la forme homogène,
en remplaçant a, [3, . . . par —, — et multipliant ensuite par
une puissance du produit de tous les facteurs y assez elcvce pour faire disparaître les fractions. Si l’on opère ainsi sur une fonction des différences dans laquelle les racines ne se présentent pas toutes de la même manière, il restera, après la multiplication, des facteurs y en évidence, et la fonction ne pourra être un invariant. Ainsi, pour une fonction du quatrième degré, 2 (« —(3)’ devient
2yly](*<r> —
tandis que la fonction 2(a — (3 )* ( y — o)’, dans laquelle figurent toutes les racines, devient
FORMATION DES INVARIANTS ET COVARIANTS. I07
elle ne contient plus que les déterminants et, par suite, est un invariant.
On démontre, de même, que toute fonction symétrique formée avec les différences des racines entre elles, et les différences entre x et une ou plusieurs des racines, est un covarianl, pourvu que chaque racine figure le même nombre de fois. Ainsi, pour une forme du troisième degré, 2 ( a — (3)’ (x — y)’ est un covariant.
103. Nous pouvons, par la méthode précédente, former des invariants et des covariants qui se réduisent à zéro dans l’hypothèse de quelque condition d'égalité entre les racines. Supposons ainsi que l’on demande un invariant qui s’annule quand trois racines deviennent égales : il est clair que chaque terme devra contenir l’une des trois différences a. — {3, (3 — y, y — oc, et, de même, pour tout autre groupe que l’on peut former avec trois racines. Dans une équation du quatrième degré, il y a quatre groupes de celte sorte : la différence a — (3 appartient à deux groupes, la différence y — ô aux deux autres ; par conséquent, 2( a — (3)’ [y — <3)’(*) sera un invariant qui se réduira à zéro lorsque trois racines seront égales. De même, pour une équation du cinquième degré, il y a dix groupes de trois racines; oc — (3 appartient à trois groupes, •/ — o à trois autres : les quatre derniers groupes sont ocyz, ocoe, j3ye, (3<5e, parmi lesquels deux contiennent y — e et les deux autres o — z. La fonction Hoc — (3 )* ( y — ô) J {o — e )* ( y — e)- sera donc un invariant qui sc réduira à zéro lorsque trois racines seront égales. Cet invariant ( 34 , 35 ) est du quatrième ordre, et son poids est io.
Si l’on veut former un covariant d’une forme biquadratique qui se réduise à zéro lorsqu’il existe deux couples de racines égales, son expression contiendra une différence de chacun des groupes oc — (3, y — 5; x — y, fi — o; oc — 6, (3 — y: elle sera donc
2( a — &)'(?> — yY(y — x) 2 (x — <î)‘,
(*) ï. (a — — S) se réduirait identiquement à zéro.
OU
-(* — ?)(« — y) (*— 3)(X — $Y(x — y yix— 8)'y
ces covari3nts sont du quatrième et du sixième degré par rapport aux variables, du quatrième et du troisième par rapport aux coefficients, et chacun de leurs termes se réduit à zéro lorsque l’équation admet deux couples de racines égales.
106. Différentiation mutuelle des covariants et des contrevariants. — Lorsque l’on dit que la fonction est un contrevariant, il est clair que n ,. . . sont des quantités quelconques que l’on suppose seulement transformées par la substitution inverse. Mais nous avons fait voir (97) que les
symboles jj—, 'jj'"’ sont dans ce cas. Nous pouvons donc
substituer, dans un contrevariant, ces symboles à la place de %, vj, . . ., et nous obtiendrons un symbole d’opération qui ne variera pas par la substitution, et qui, appliqué à la forme primitive ou à l’un de ses covariants, donnera un covariant si les variables subsistent après la différentiation ou un invariant si elles disparaissent. En l’appliquant à un covariant mixte, il donnera un contrevariant ou un covariant mixte, suivant que les variables disparaîtront ou ne disparaîtront pas par la différentiation. Au lieu de remplacer dans un contrevariant,
par -j-.t-' pour former un symbole d’opération, nous
. , r/U r/U TT , .
pouvons encore les remplacer par U elanl la
forme primitive ou l’un de ses covariants, et obtenir ainsi un nouveau covariant. La relation entre les deux séries de variables x, y, z, . . . et ', yj, Ç, . . . étant réciproque, nous pouvons de même remplacer, dans un covariant, x, y, s,.. . par
-i» — ? et nous aurons un symbole d’opération qui, (I c. tir) d '
appliqué à un contrevariant, donnera un nouveau contrevariant ou un invariant.
Ainsi, étant donnés un covariant et un contrevariant, on peut, en substituant dans l’un d’eux des symboles différentiels
FORMATION DES INVARIANTS ET COVARIANTS. I09
et opérant ensuite sur l’autre, obtenir un nouveau contrevariant ou covariant, que l’on peut de même combiner avec les premiers, pour en déduire d’autres, et ainsi de suite.
107. Dans le cas des formes binaires, cette méthode se simplifie. Les formules pour la transformation directe étant
celles de la transformation inverse sont (96)
d’où
ÀJ — y, X, — Xj Y„ Avi = — fi,X, 4 - X, Y„ expressions qui peuvent s’écrire
Av; = X, Y, 4- ui( — X, ), A( — l) = X a Y, 4- y.j( — X, ).
On voit donc qu’abslraction faite du facteur A, les variables zi et — \ se transforment exactement suivant la même règle que x et y, et l’on peut dire que y et — x, d’une part, x et y, de l'autre, se transforment par des substitutions inverses. Ainsi, dans les formes binaires, les covariants et les contrevariants ne sont pas essentiellement distincts, cl nous n’avons qu’à remplacer, dans un covariant, .r et y par yj et — £ pour en faire un contrcvariant, et vice versâ. En effet, supposons que, par la transformation, une fonction homogène <f[x, y) devienne 4>(X, Y), les formules ci-dessus montrent
que ç (r;, — X) deviendra ^ $(Y„ — X,), p étant le degré de la
fonction en x etj\ Donc, si 9 (or, y) est un covariant, c’est-àdire une fonction qui, après la transformation, ne diffère que par une puissance de A d’une semblable fonction de X et Y ; évidemment 9(7;, — \ ) ne différera de même, après la transformation, que par une puissance de A d’une fonction semblable de X, et Y,. Ce sera donc un contrevariant.
Au lieu de dire que les symboles différentiels se transforment par substitution inverse par rapport à x, y, nous pou-
IlO DIXIÈME LEÇON .
vons donc dire qu'ils se transforment par la même substitution que j et — x; et si, dans la forme primitive ou dans un
de ses covariants, nous remplaçons x et y par ^» — ^»
nous aurons un symbole qui pourra être employé pour donner naissance à de nouveaux covariants, comme nous l’a\*ons
expliqué plus haut. Nous pouvons aussi substituer^» —
à la place de x et y, et obtenir ainsi un nouveau covariant. Les exemples suivants feront suffisamment comprendre l’esprit de cette méthode.
Exemple 1 . — Trouver un invariant d'une forme quadratique ou d’un système de deux formes quadratiques.
Supposons que, par la transformation, ax 1 4- 2 bxy 4- iy r dovienne
AX’+aBXY-i-CY 1 ;
puisque A ^-1 — A ~ se transforment suivant la même règle que x et y, le symbole
J d 1 , d 3 rf 3 \
deviendra, par la transformation,
dXd\
En l’appliquant à la forme elle-même, on a
4A î (r/c-é 5 ) = 4(AC-B-'),
ce qui fait voir que ac — b 3 est un invariant; en l’appliquant à r 3 -|- -xb'xy + c’y 1
et à sa transformée, on a
a A’ ( ac' 4 - a'c - a bb' ) = a ( AC' 4 - A'C - 2 BB') ,
et l’on voit que ac' + a'c — ibb' est un invariant. On peut voir aussi que la fonction
a [bx 4- ç> ) ! — 2 b ( bx 4- cy) (ax by) 4- c (ax 4- by ) 7
FORMATION DES INVARIANTS ET COVARIANTS. I I I
est un covariant, mais c’est simplement la forme elle-même multipliée par ne — b 2 .
Exemple II. — Toute forme binaire tle degré pair a un invariant du second ordre par rapport aux coefficients .
Nous n’avons qu'à substituer — 'j- à la place de x et r et opérer en-
suite sur la forme. Ainsi, pour la forme biquadra tique (a, b, c, d, e .r, v)‘, nous trouvons que ne — 4 bd 4 - 3c’ est un invariant; de môme pour la forme générale (a„ a H [x, r)", la fonction
a t a H — na y a a y 4 - i n(n — i ) — . . .
est un invariant; les coefficients numériques sont ceux du binôme; mais le terme du milieu est divisé par 2 .
Si nous appliquons cette méthode à une forme de degré impair, par exemple à la forme cubique
ax~ 4 - 3 bx’y 4 - 3 cxy 2 4- dr 2 ,
et si nous effectuons l’opération
d dx' 3 C dx'dy + 3 " dxdr 2 " dy 2 ’
le résultat est identiquement nul. Nous trouvons cependant qu’un système de deux formes cubiques a un invariant (ad' — a'd) — 3 (/*■’ — b'c)> et, en général, qu’un système de deux formes de degré impair a pour invariant l’expression
qui se réduit à zéro quand les deux formes sont identiques.
108. Quand on a obtenu, par la méthode ci-dessus, un invariant pour une forme de degré quelconque, on en déduit immédiatement, par celle du n° 93, un covariant pour une forme quelconque de degré plus élevé. Ainsi, sachant que ac — b 2 est l’invariant d’une forme quadratique, formons l’invariant de l’émanant quadratique d’une fonction quelcon-
que; I expression
sera un covariant pour
toute fonction d’un degré supérieur un second. De même ne — 4 bd 4- 3 c v
étant un invariant d’une forme du quatrième degré, nous en déduirons que l'expression
d'n d'il r d'n d'n / d'n \ 1
dx' dy' * dx*dy dx dy‘ \dx , dy 7 )
sera un covariant pour toute forme d’un degré supérieur au quatrième. On voit ainsi que toute forme a, en général, une série de covariants du second ordre par rapport aux coefficients et des degrés 2(11 — 2), 2(11 — 4), 2(11 — 6),... par rapport aux variables. Ces covariants peuvent se combiner ensuite, soit avec la forme primitive, soit entre eux, pour conduire à de nouveaux covariants ou invariants.
Exemple I. — Une forme du quatrième degré a un invariant du troisième ordre par rapport aux coefficients.
Nous savons, en effet, que le llessien
( ax' 4- ibxy 4- cy 1 ) (c.r 3 nlxr cy 7 ) — [bx- 4- a cxy 4- dy 7 ) ! ,
ou
(oc — b 7 )x' 4 - 2 [ad — bc)x'y
4 - (ne -y 2 bd — 3 c’)x J j' J 4- a (be — ed)xy 3 4 - (ce — <■/* )y'
est un covariant. En effectuant sur lui l’opération
dx
et divisant par -a, nous obtenons la quantité
ace 4 - 2 bed — ail 3 — c/r — c 3 ,
qui, par suite, est un invariant.
Exemple 11 . — Toute forme de degré- impair et un invariant du quatrième brdre par rapport aux coefficients.
En effet, elle a un covariant quadratique ^ — . . . du second
ordre par rapport aux coefficients. Le discriminant de cette forme quadratique sera un invariant de la forme primitive ( 91 ) et sera du quatrième ordre par rapport aux coefficients. Du reste, cette démonstration
FORMATION DES INVARIANTS ET COVARIANTS. I 1 3
prouve que toute forme a un invariant du quatrième ordre; car, si nous prenons un des covariants de degré pair obtenus ci-dessus, son invariant du deuxième ordre sera du quatrième par rapport aux coefficients de la forme primitive. Mais, si ia forme est de degré pair, il peut arriver que l'invariant ainsi obtenu soit simplement le carré d^un invariant du second ordre.
Exemple III. — Trouver l’invariant du quatrième ordre d'une forme cubique.
Le Hessien est
(«a- + by) (cx + dy) — (bx 4 - o ) 3 ,
ou
(ac — b 1 )x 1 - 1 - (ad — bc) xy-\- (bd — é :
L’expression
(ad — bc)' — 4 ( ac — b 1 ) (bd — r 3 ) est un invariant de la forme cubique; en effet, c’est son discriminant a 2 d 2 4 - 4 ac* ■+• 4 dlè — 3 b 2 c 2 — 6 abed.
109. Tout invariant d’une forme binaire peut donner naissance à un covariant. Nous pouvons, en effet ( 101 ), en déduire
I evectant ?" y- 4 - . . , qui est un contrevariant, et, en y rem-
plaçant \ et n par y et — x, nous avons un covariant. Ainsi, du discriminant ci-dessus d’une forme cubique, nous déduirons l’évectant
\ 2 (ad 2 — 3 bed 4- 2 & ) — 3 ri ( acd 4- bc' 1 — ib-d)
— 3 \ n 3 ( abd 4 - b 1 c — 2 «<-•’ ) 4 ~n 2 (d’d — 3 abc 4- 2 b 5 ),
et, par suite, la forme cubique admet le covariant
(a 2 d — 3 abc 4- 2 b\ abd 4- b 2 c — 2 «e J ,
2 b 2 d — acd — bc 1 , 3 bed — ad 1 — 2 c’^.r, jp) 1 .
110. Equation différentielle. — Soit n le degré d’une forme binaire, 0 celui de l’un de ses invariants par rapport aux coefcients; le poids ( 33) de chaque terme de l’invariant est constant et égal à ^ nO. Si nous changeons x en Ix sans faire varier y, ce qui est une transformation linéaire, l’invariant doit,
par définition, rester le même ou du moins être simplement multiplié par une puissance Me 1 qui, dans ce cas, est le module de la transformation. On démontrera, comme au n° 34, que la somme des indices de chaque terme est constante.
L’invariant doit aussi rester le même si l’on change x en/ et/ en x, transformation linéaire dont le module est — i . Cette substitution revient à changer chaque coefficient a a en a n K . On a donc, pour la somme des indices,
a-t-p + y -+-•••— ( n — x ) + ( b — P) H- ( n — y) +. • . » d’où
Corollaire, n et 0 ne peuvent pas être tous deux impairs, puisque leur produit est pair, c’est-à-dire qu’une forme binaire de degré impair ne peut pas avoir d’invariant de degré impair.
111. Les principes ci-dessus nous permettent d’écrire immédiatement la partie littérale d’un invariant dont l’ordre est connu; car, l’ordre étant donné, le poids l’est également. Si l’on demandait, par exemple, de calculer pour une forme du quatrième degré un invariant du troisième ordre, son poids serait 6, et ses termes
A a, a, a, -+■ B «,a,n, +Ca 3 a,a 0 + Du, a, a, -+- Ea,a,a„
les coefficients A, B,... restant à déterminer. Le lecteur remarquera qu’il y a autant de termes dans l’invariant que de manières différentes de composer le nombre 6 avec trois nombres compris entre o et 4» et, en général, qu’un invariant renferme autant de termes qu’il y a de manières de composer le
nombre ~ n9, qui représente son poids, avec 0 nombres compris entre o et n.
Nous déterminerons les coefficients d’après cette considération, qu’un invariant ne devant pas changer si l’on remplace x par x 1 ou / par / + X, doit, comme au n° 39,
FORMATION DES INVARIANTS ET COVARIANTS.
satisfaire aux deux équations différentielles :
dl dl , dl
(la ~3 h 2 fl, -j (-3a. J h • • • — O,
aa x ci ci 2 (ici}
dl , . dl
na, -j h (n — i }a, -j — (-... = o,
u (in dci\
l’équation primitive étant censée écrite avec les coefficients du binôme. Dans la pratique, une seule de ces équations suffit, car la deuxième s’en déduit en changeant chaque coefficient a x en a„ a . Il suffit donc de faire usage de l’une d’elles, pourvu que l’on ait soin de rendre d’avance la fonction symétrique par rapport à x et y; c’est-à-dire pourvu qu’elle ne change pas ou tout au plus change de signe (*) lorsque l’on remplace a K par a„ K , et celte condition sera toujours remplie si l’on a soin que le poids de l’invariant soit celui que nous venons d’indiquer. Ainsi dans l’exemple qui précède, si nous effectuons sur l’expression Aa, a^a, -+- . . . l’opération
a, h - • - , il vient
da,
et, en prenant A = 1, on a pour les autres coefficients B = — 1, D = 2, C = — 1, E = — 1, et pour l’invariant lui-même
a t a,a 0 — (— 2 a, a, ai — ai ai ai ■ — a a a, a# — g 2 a, a,.
112 . En cherchant, par celte méthode, à déterminer un invariant d’un ordre donné, nous avons à calculer des coeffi-
(*) Le changement de x en y et de/ en x revient à une transformation linéaire ayant pour module
Tout invariant qui, dans la transformation, se trouve multiplie par une puissance impaire du module, change donc de signe lorsque l’on permute j* et j j les invariants de cette espèce sont appelés invariants gauches.
1 l6 DIXIÈME LEÇON.
cients inconnus A, B, C,. . et nous y parvenons à l’aide d’un certain nombre de conditions déduites de l’équation différentielle. Si le nombre de ces conditions surpasse celui des coefficients inconnus, la formation de l’invariant sera impossible en général; s’il lui est égal, on n’aura qu’un invariant; s’il est moindre, on en obtiendra plusieurs. Mais nous avons vu que le nombre des termes de l’invariant, qui surpasse d’une unité celui des coefficients, est égal au nombre de décompositions
possibles du poids ^ nO en 0 nombres compris entre o ei n.
L’effet de l’opération «„ + ... est évidemment de diminuer
le poids d’une unité; le nombre des conditions à remplir est
donc égal au nombre de décompositions de ^ n 0 — i en û
nombres compris entre o et n. Ainsi, dans l’exemple du n° 111, le nombre des conditions employées pour trouver A, B,... est égal au nombre de décompositions possibles du nombre 5 en une somme de trois nombres compris entre o et 4 inclusivement. Par conséquent, pour reconnaître en général si l’on peut trouver, pour une forme binaire, un invariant de l’ordre 0, et s’il y en a plus d’un, il faut examiner de
combien de manières les deux nombres - nQ, - n 0 — i peu-
vent être décomposés en 0 nombres compris entre o et n : c'est sur ce principe que Si. Cayley a basé ses recherches sur le nombre des invariants des formes binaires.
113. Les mêmes raisonnements s'appliquent aux covariants. Un covariant doit, comme la forme primitive elle-même, rester invariable si l’on change x en px, et, en même temps, chaque coefficient a a en p“ a ry . Si le coefficient d’une puissance x^ de x , dans le covariant, est a a è 3 c y , . . . , il est clair, comme ci-dessus, que la somme p -+- a ,-t- (3 -4- . . . doit être constante pour tous les termes, et nous pouvons l’appeler le poids du covariant. En outre, pour que le covariant ne change pas lorsque l’on
FORMATION DES INVARIANTS ET COVAR1ANTS. I 1 7
permute x etj - , on doit avoir ]n + a + j3 + •/+... = (/> — ju) + (« — a)+(n —
p étant le degré du covariant en x et y, par conséquent, 0 étant l’ordre du covariant par rapport aux coefficients, on a immédiatement pour son poids ^ («0 4- p). Si l’on demande, par
exemple, un covariant quadratique d’une forme cubique qui soit du deuxième ordre par rapport aux coefficients, on a n= 3. 0 = 2 , p = 2 , et le poids est 4- 0° a donc, pour les termes qui multiplient x 1 , a. -+- (3 = 2 , et ces termes seront a,a„ et a,rt, ; de même, les termes qui multiplient xy seront fl 3 a„, a, a,, et ceux qui multiplient j 1 , a 3 a„a,a 7 ; on détermine ainsi la partie littérale d’un covariant : les coefficients s’ohtiendront comme on va le voir ci-après.
114. Il résulte de la définition du covariant que l’on doit parvenir au même résultat, soit en y changeant x en x-\-~ky', soit en effectuant d’abord cette substitution dans la forme primitive, et calculant ensuite le covariant de la transformée. Mais ce changement dans la forme primitive revient (39) à changer
«, en a, -(-Xfl 8 , a, en a, -t- 2 a,l -4- a,ï. 7 La substitution
de x -+- 'Xy à x dans le covariant reviendra donc aussi à y remplacer a, par a, -t- Àa a , .... Soit
A, XP + p\, xp-' y + 7 X P(P ~~ OAjxr-’y 5 -+- . . .
le cofariant : exprimons que ces deux manières d’opérer sont équivalentes, et bornons-nous aux termes qui multiplient ?..
En désignant, comme au n°41, par l’abréviation -jr. l’opération
il vient
da l da 7
’ dt, ~ *’ dtp
dk p
fi
Désignant de même par l’opération
d . , fi
na , j— 4- ( n — i a~ -r— da a da ,
nous aurons aussi
rfA 0
Nous voyons ainsi qu’en supposant A, déterminé de manière
à satisfaire à l’équation - o [en d’autres termes, A, doit
être une fonction des différences des racines (39)], tous les autres termes du covariant seront connus. Le covarianl sera, en effet.
i xf x>‘ fin
i .2 dr*
x p-’jt-
xP~ 3 y l + ....
il faut remarquer que le poids du covarianl étant -[n 0 4 -p).
celui du terme A, est ^ (n 0 — p), puisqu’en lui ajoutant p on
doit retrouver celui du covariant. Ce terme A 0 , dont tous les autres dérivent, a été appelé par M. Roberts la source du covariant. M. Roberts remarque aussi que la source du produit de deux covariants n’est autre que le produit de leurs sources respectives. Car, si nous multiplions le covaria»l cidessus par
rfB.
dr,
xi-'r 4-
dr,‘
Xi- 3 }' 7 4- .
nous avons, ainsi qu’il est facile de le vérifier.
A, R „xr + i 4-
rf(A.B.)
dr,
xP + i~ 'y'
