dn
Par conséquent, si nous connaissons quelque relation entre plusieurs fonctions A„, B„, C ot ... des différences des racines, la même relation subsistera entre les covariants qui en dérivent.
FORMATION DES INVARIANTS ET COVAR 1 ANTS. I 19
Exemple I. — Trouver le covariant quadratique d’une forme cubique.
Nous avons vu, n” H3, que A, est de la forme 4- üa,n r Effectuons l'opération
il vient d’où
’ dn
dn.,
B = — 1 et A, = «, n,.
Effeeluons maintenant sur A„ l'opération
d ' dn.
d 1 dn.
'du,'
nous avons
Effectuons de nouveau la même opération sur A,, et il vient A, = «,«, — n t a i'
Le covariant cherché est donc
Exemple II. — Trouver, pour une forme cubique, un covnrinnl du troisième ordre pnr rapport au.r variables cl aux coefficients.
Dans ce cas, on a n = 3, 0 = 3, i («64-/») = 6 La somme des indices dans le coefficient de x 3 sera 3, et ce coefficient sera de la forme A rt 3 n, a, + B a, a, «, 4- C n, n K a t .
Effectuant l’opération
a '7h+™'7ür+* n 'dï;
il vient
En prenant A = 1, nous aurons
B = — 3, C = a, A t = a,a c a t — 3 a,a,a t + •xa l n^n l . Effectuant sur A, trois fois de suite l’opération , d d d
nous aurons les autres coefficients et le covariant sera (109]
( a, a,n, — 3 a t a, n t + an, a, n, ) .r* 4 - 3 (n 3 a, a, — a a, n,n, ■+■ a, a, a, ) x' y 4-3 ( 21 i,n i n l — n,n,n l — •rr*4-(3" J " J ", — 2 n, n, a, — a.n,a,\ v 5 .
115. Nous avons vu qu’une forme a autant de covariants du degré p par rapport aux variables, et de l’ordre 0 par rapport aux coefficients, qu’il y a de fonctions A» dont le poids soit
^(n0 — p), et qui satisfassent à l’équation = o; et, de
même qu’au n° 112, nous voyons que le nombre de ces fonctions est égal à la différence entre les nombres de décompositions
de '-(nQ — p)c\.'-(nO — p) — î en 0 nombres compris entre
o et n inclusivement. On peut remarquer que p ne peut être impair que si « et 0 le sont tous deux. Les formes de degré impair ont donc seules des covariants de degré impair par rapport aux coeffiçients, et ils sont aussi de degré impair par rapport aux variables.
