Les résultats du n° 114 peuvent être présentés un peu

différemment. L’opération y ^ » exécutée sur une forme

quelconque, équivaut à une certaine opération exécutée par différentiation sur les coefficients. Ainsi, pour la forme

(««, a,, a,,. . . \x, jr) m ,

on obtient le même résultat, en exécutant l’une ou l’autre

des deux operations y — » a e -+- 2 a. -t-, . . . Désignons

cette dernière par la notation ^y : la propriété démontrée ci-dessus pour les covariants peut être représentée par l’égalité y^- — ^y En d’autres termes, les deux

operations y -j- ou - -+- 1 a, -t-. . . , executees sur un

covariant, conduisent au même résultat. M. Cayley est parti de celte propriété comme définition des covariants (*); elle com-

( *) Voir les Mémoires de M. Cayley, on Quantics , Philosnphical Transactions, années 1 354 et soir.

FORMATION DES INVARIANTS ET COVARIANTS.

prend aussi les invariants, puisque l’on a, pour un invariant I,

— o, et, par suite aussi, I l = o.

117. On peut démontrer de même que les formes à un nombre quelconque de variables satisfont à des équations différentielles qui peuvent s’écrire

Ainsi, pour la forme [a, b, c,f, g, h\x,y, z)\ nous avons

d d d , d d d . d d riï = a Th + 8df + * h db' z Tx = a d g +h df + ' 1 s Tc :

et tout covariant doit satisfaire à ces deux équations : tout invariant satisfait aussi aux équations

a Tk + Sdf +2ll Tb=°' a Tg + h df + *ST C = °’

ainsi qu'on peut facilement le démontrer en remarquant que l’invariant doit rester le même si l’on remplace x par x -t- \y ou x -F- fXZ.