REPRÉSENTATION SYMBOLIQUE DES INVARIANTS ET DES COVARIANTS

118. Il nous reste à faire connaître une quatrième méthode pour trouver les invariants et les covarianis ; cette méthode, donnée par M. Cayley en »846 ( Cambridge and Dublin Mathemalical Journal, 1 . 1 , p. io4, et Journal de Crelle, t. XXX), non-seulement permet d’obtenir ces fonctions, mais encore fournit les bases d’un système de calcul régulier à l’aide duquel elles peuvent être comparées et identifiées.

Soient x„ y, ; x„ y, deux systèmes de variables qui doivent être transformées par une même substitution ; il a été démontré que les dérivées-^-» -i- sont transformées par

Cl JC y U JC 2 dy % 2

la substitution inverse (97); que le symbole d d d d

dx, dy , ~dx t dy,

ne varie pas par la substitution (87); enfin, que si l’on effectue sur une fonction quelconque de x,, y, ; x„ y-, l’opération indi-

quée par une puissance de ce symbole, on obtient un cova-

riant (106). Nous désignerons l’expression

d d dx , dy.

d jt

dx , dy,

par la notation abrégée 12 .

Supposons maintenant que l’on donne deux formes binaires U, V, nous pouvons immédiatement établir des covariants de ce système de formes. Nous n’avons qu’à écrire les variables dans U avec l’indice 1 , et dans V avec l’indice 2 , et effectuer ensuite l’opération indiquée par une puissance quelconque du symbole 12 : le résultat sera un invariant ou un covariant.

REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVARIANTS. 13.3

Soient, par exemple,

U = ax] -t- 3 bx, j, ■+■ Cf ] , V = a' xi 4 - 2 b' x, y\ -4- c'y ] ,

appliquons a ces formes le symbole 12 qui, développé, est d 3 d 3 jP jP d 3 d 3 dx] dfl dx\ df\ dx,df , dx 2 df 2 ’

le résultat ac' -f- ca' — zbb' sera un invariant commun des deux formes. En général, il est clair que les différentielles marquées de l’indice 1 s’appliquent seulement à U, et celles qui sont marquées de l’indice 2 seulement à Y, et il est inutile de conserver les indices après la différentiation (*); de sorte que le symbole 12 , appliqué à deux formes de degré quelconque, donne lecovariant

rf»UoeV d'U d'V

dx 3 df 3 df 3 dx 3 dx df dx df

Si l’on avait simplement appliqué le symbole 12, on aurait eu

. .. . . . .. rfü rfV dUdV

le déterminant de Jacobi -3 — -j — r-> qui est un cova-

dx df df dx

riant des deux formes (95).

En appliquant le symbole 12 à deux formes cubiques, on obtient l’invariant

( ad ' — a! d) — 3 [bc' — b' c),

et, en l’appliquant à deux formes quelconques, le covariant

rfOJ <PV 3 tf’ü d'V 3 d'V d'V rfMJ d'V dx' df' dx'df dxdf 3 ~^ dxdf 3 dx'-dy df * dx''

et ainsi de suite pour les autres puissances de 1 2.

(*) Si W est une fonction contenant : r |f y it nous obtiendrons le même

résultat soit en transformant linéairement ces variables et supprimant ensuite lous les indices dans la transformée, soit en supprimant d’abord les indices et effectuant ensuite la transformation de i et/. Cela résulte immédiatement de ce que x ,, x > ? sont transformés par la môme substitution. On en déduit que si W écrit comme fonction de est un covariant de U et V,

c’est-à-dire si l’expression des coefficients de W en fonction de ceux de U et V n*est pas affectée par la transformation, W est également un covariant lorsque l'on fait abstraction des indices.

119. Nous pouvons aussi, par cette méthode, obtenir des invariants et covarianls d’une fonction unique U. 11 suffit, en effet, de supposer U et V identiques. Ainsi, faisons, dans

l’exemple de deux formes quadratiques donné au numéro

précédent, a — a', b — b', c = c\ l’invariant 12 devient 2 (ac — b 1 ). De même, l’expression donnée pour le cova-

riant 12 d’un système de deux formes U, V devient, en faisant U = V, le covariant d’une forme unique

d*V U / rf’U y

dx 1 dy* \ dx dy J

En général, lorsque nous voulons, par cette méthode, établir les covarianls d’une fonction unique, nous avons recours à l’artifice suivant : nous établissons d’abord le covariant d’un système de formes distinctes, puis nous supposons que toutes ces formes deviennent identiques. Lorsque nous emploierons,

dans la suite, des symboles tels que 12 sans indiquer a quelles fonctions ils s’appliquent, nous entendrons simplement qu’il s’agit d’une fonction unique U. Nous opérerons sur plusieurs formes semblables U„ U,,..., dans lesquelles les variables seront désignées par x,, y„ x„ y „- . au lieu de x, y, et nous supposerons qu’après la différentiation on omet tous les indices et que toutes les variables, s’il en reste, sont remplacées par x et y. .

120. Puisque l’on omet tous les indices après la différentiation, on voit immédiatement que le résultat est le même, quelles que soient les lettres primitivement employées, et

que 12 et 34 désignent une seule et même chose. Dans les applications de cette méthode, nous aurons constamment à faire usage de transformations fondées sur ce principe. Ainsi, nous pouvons montrer que, si n est impair, le résultat de

l’opération 12 , appliquée à une forme unique, se réduit à

zéro. Car, d’après ce que nous avons dit, 12 =21 , mais 12 et 21 ont des signes contraires, comme on le voit immédiatement

REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVARIANTS. I ?.5 en écrivant explicitement les termes que représente le symbole abréviatif 12; il en résulte que 12 doit se réduire à zéro

quand n est impair. Ainsi, le développement de 12 donné a la fin du n" 118 se réduit évidemment à zéro si l’on faitU = V. La série 12 > 12 , 12 reproduit les invariants et covariants

déjà obtenus (107, 108). 11 est facile de voir que l’opération 12 , appliquée à la fonction («„, . .\x, y)", donne, quand n

est pair,

a a a„ — na, a„, H am,,-. — . . • ,

le dernier coefficient devant être divisé par 2, comme le montre le mode de formation.

121. Les résultats précédents s’étendent, sans difficulté, à un nombre quelconque-de fonctions. Nous pouvons prendre plusieurs formes U, V, W, . . . , et donnant aux variables dans la première l’indice 1, dans la deuxième l’indice 2, dans la troisième l’indice 3, et ainsi de suite, effectuer sur elles l’opération indiquée parle produit d’un nombre quelconque de symboles 12 , 23 , 3 i X , 14°,..., 23 étant, comme plus haut, la représentation abrégée de l’expression

dx, dy\ dxz dy.

Nous supprimerons les indices après la différentiation, et nous aurons ainsi un covariant du système de formes données qui se réduira à un invariant, s’il arrive qu’il ne reste plus aucune puissance de x et j après la différentiation; un nombre quelconque de ces formes, U, V, W, . . ., peuvent être identiques, et, dans le cas que nous considérerons le plus souvent, c’està-dire lorsqu’il s’agira d’une seule forme, les fonctions U,,U„ Uj, . . , sur lesquelles on opérera, ne différeront que par les indices des variables.

11 est clair que, dans celle méthode, le degré du résultat par

1 aô ONZIÈME LEÇON.

rapport aux coefficients sera toujours égal au nombre des figures qui se trouvent dans le symbole. Car, si toutes les fonctions étaient distinctes, la fonction ainsi obtenue contiendrait évidemment au premier degré les coefficients de chacune des formes U, V, W,. ... et, lorsque ces dernières seront supposées identiques, le degré par rapport aux coefficients sera égal au nombre des fonctions U„ U J( U*,..., sur les-

quelles nous opérons. Ainsi, les expressions telles que 12 , considérées ci-dessus, seront toutes du deuxième degré par rapport aux coefficients.

Supposons maintenant qu’il s’agisse de trouver le degré par rapport à x etj, et que les formes soient d’abord distinctes, U étant du degré n, V du degré n', W du degré n", et ainsi de suite; supposons encore que, dans le symbole, la figure 1 se rencontre a. fois, la figure 2 (3 fois, etc.; puisque U est différentié a fois, V (3 fois, etc., le résultat sera du degré

Quand les formes sont identiques, *’il y a p figures dans le symbole sur lequel nous opérons, le degré du résultat en x et y sera

np — ( a -+- ( 3 y -+- ...),

et si r désigne le nombre des facteurs tels que 12 qui composent le symbole, il est évident que

x + fi + y+ ... — 2 r.

Enfin, si l’on veut obtenir un invariant, on doit avoir a = [3 = y — n.

122 . Pour jeter plus de clarté sur les principes précédents, nous allons rechercher quels sont tous les invariants possibles du troisièmedegré par rapport aux coefficients. Puisque leur symbole ne peut contenir que trois figures, sa forme la plus

, , — x — -fi — y

generale est 12 .23 . 3 i , et, pour que l’on ait un invariant,

REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVARIANTS. 12^

il faut que

a-+-y = a-l-(3 = (3-l-y = «, d’où a. — (3 = y.

La forme générale que nous avons à examiner est donc

(i2.23.3i) y . Si a est impair, le résultat se réduit identiquement à zéro; car en permutant, comme au n° 120, les figures i et 2 , nous avons

mais ces deux expressions ont des signes contraires. 11 en résulte que tous les invariants du troisième ordre sont

compris dans la formule (i2.23.3i) a où a. est pair. Ainsi

12 . 23 . 31 est un invariant d’une forme du quatrième degré, puisque les différentiations s’élèvent au quatrième ordre,