a, ( — 54oa, a, 4- 72oa e a 5 ) — 280a
123. Bien qu’il n’y ait d’autre type d’invariant du troisième ordre que celui que nous venons d’indiquer, il existe un
nombre indéfini de covariants; le plus simple est 12 .'i3, dont le développement est
d 3 U d 3 U dU d 3 U / rfU a r U \
dx 3 dy‘ dy dx 3 dy \ " dx dy dy dy 1 dx j
d 3 U /d 3 U </U rfU\ • rfUJ J dU
dx dy 3 \ dx‘ dy 2 dx dy dx ) dy 3 dx 3 dx
Lorsqu’on l’applique à une forme du troisième degré, il donne l’évectant déjà obtenu (109).
Le type général des invariants du quatrième ordre, par rapport aux coefficients, est (12.34)“ ( 1 3 . a4 )' 3 ( * 4 - ) y . Ainsi le discriminant d’une forme cubique est représenté par la notation (12.34)* (13.24); mais nous ne pouvons entrer ici dans de plus grands détails sur ce sujet.
124. Les principes que nous venons de poser fournissent une démonstration facile d’un théorème remarquable dû à
REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVARIANTS. 13-9
M. Hermite, et que nous désignerons sous le nom de loi de réciprocité : Le nombre des invariants du n"'"‘ ordre par ra/>port aux coefficients que possède une forme binaire de degré p est égal au nombre des invariants de l’ordre p que possède une forme de degré n. Nous avons déjà fait voir que
si un symbole 12 . 23 . 34-.., représente un invariant de l’ordre p par rapport aux coefficients d’une forme de degré »,
le nombre des figures 1 , 2 , 3 est p, et chacune d’elles
s’y trouve répétée re fois. Mais nous pouvons calculer par la méthode du n° 103 un invariant l(x — (3)“( j3 — y) 4 (y — en remplaçant chaque symbole tel que 34, parla différence de deux racines (y — ô). Ce dernier est un invariant d’une forme de degré p, puisqu’il y a par hypothèse p racines, et il est de l’ordre n par rapport aux coefficients de cette forme (35).
Ainsi, par exemple, une forme, quadratique n’a qu’un invariant indépendant («— (3) 1 , mais toutes ses puissances sont évidemment des invariants dont le type général est («-(3)". Par suite, les formes de degré pair ont seules des invariants du second ordre par rapport aux coefficients, et leur symbole
5 ni
est 12 .De même, les formes cubiques n’ont d’autre invariant que le discriminant (a — (3)’ ((3 — y) 1 (y — a)’ et ses puissances; ce discriminant est du quatrième ordre par rapport aux coefficients. Par suite, les formes de degré 4 m ont seules des invariants cubiques dont le type général est
î/« S/// ttn
12 . 23 . 3i . Nous démontrerons que les formes du quatrième degré ont deux invariants indépendants, l’un du deuxième, l’autre du troisième ordre par rapport aux coefficients, cl par suite toute puissance de l’un multipliée par une puissance de l’autre est un invariant. On en déduit que les formes du quatrième degré ont autant d’invariants de l’ordre p que l’équation 2 .x -h 3y = p admet de solutions entières. C’est par suite également le nombre des invariants du quatrième ordre que peut avoir une forme de degré p.
125. M. Hermite a démontré que son théorème s’applique également aux covariants d’un degré donné en x et y\ c’est-
l3> ONZIÈME LEÇON.
a-dirc qu’une forme de degré n possède autant de covarianls de l’ordre p par rapport aux coefficients qu’une forme de degré p possède de covarianls de l’ordre n. En effet, considé-
rons un symbole ia . a3 . 34 . . contenant p figures, la figure i y entrant a fois, la figure 2 b fois, et ainsi de suite. Nous avons prouvé que le degré de ce covarianl en x et y est (n — a) 4 - (n — />)+...; mais nous pouvons former la fonction symétrique
2 (« - |3) ; (P - y y (y - . . (x - «)—(*- PJ-*. . .
elle sera (104) un covariant de la forme de degré p, qui a pour racines a, (3, .. .; chaque racine entrant dans cette expression au degré n, ce covarianl sera du n'*"* ordre par rapport aux coefficients, et il contiendra évidemment x ety au même degré que précédemment, savoir (n — a) -h (n — b) -h.... Ainsi, par exemple, les seuls covariants que possède une forme quadratique s’obtiennent en multipliant une puissance de la forme par une puissance de son discriminant, et leur type générai est
Leur degré par rapport aux coefficients est zp + q, et par rapport à a: et y, 2 q. Nous en conclurons que toute forme de degré 2 p + q a un covarianl du deuxième ordre par rapport aux coefficients, et du degré 2 q par rapport à x et y, le sym-
bole de ces covariants étant 12 . Lorsque q = 1 , nous retrouvons le théorème du n° 108 : toute forme de degré impair a un covariant quadratique.
126. La notation symbolique précédente fournil un système, de calcul complet à l'aide duquel on peut transformer les invariants et les covariants, et reconnaître l’identité de certaines expressions. Nous donnerons plus loin quelques exemples de ces transformations; nous allons montrer d’abord comment on peut, de l’expression symbolique d’une fonction, déduire celle d’une autre fonction dérivant de la première par de nouvelles opérations. 11 est clair que si nous avons une fonction
REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVÀRIANTS. 1 3 1
de x t , x„ x iy . . nous parviendrons au même résultat, soit en supprimant tous les indices et différentiant ensuite par rapport à x, soit en faisant la somme des dérivées partielles par rapport à x„ x^, x, y .... et supprimant ensuite les indices. La dérivée par rapport à x d’une expression symbolique renfermant les figures i, 2, 3 ,. . s’obtiendra donc en effectuant
sur celte expression 1 operation -3 1- -7— -t- -j 1-. . . . La
Cl JC 1 Ci JC 2 Ci JC 3
méthode se comprendra plus facilement en l’appliquant à un cas particulier. Proposons-nous par exemple de calculer le
Hessien du Hessien d’une forme donnée. On sait que le Iles-
sien 12 s’obtient en effectuant sur deux formes identiques U„ U, l’opération indiquée par le symbole (£, vj s — dsiis lequel \ et n désignent, comme plus haut, les différentiations
par rapport à x et y. Pour former le Hessien de 12 , nous aurons à exécuter celte opération sur deux fonctions semblables
12 , 34 , la lettre représentant cette fois non plus mais
- -4- -f-, la lettre £, représentant de même -t- -^-v* ci oc 1 ci jc 3 cl jc 3 a jj 4
On voit ainsi sans peine que l’expression cherchée est
ou, en développant,
Pour prendre un exemple plus compliqué, nous allons encore
déterminer l’expression symbolique du résultat que l’on ob-
tiendrait en effectuant l’opération 12 . 23 . 3 i sur trois fonc-
lions H, T et U, H étant le Hessien 12, T le covarianl
i 2 . 23 . 3 i , et U la forme primitive. Nous devrons d’abord employer des figures différentes pour II et T, et, dans ce but.
l32 onzième leçon.
nous aurons ensuite à effectuer sur les trois fonctions l’opéralion indiquée par le symbole
( h •/!, - h n, Y ( & T, - l r„ ) ! ( h VI, - l n, Y,
dans lequel £, devra être remplacé par — t- ^ > t. par
— h -j h -j— et par — On trouve ainsi, en develop-
((X$ (IX i uXj (tXfi
pant, l’expression
127 . Les méthodes précédentes s’étendent sans difficulté .1 tn nombre quelconque de variables. Soient x„ y„ z,; x„ y„ z,; x„ y,, z 2 trois systèmes de variables qui doivent être transformées par une même substitution. D'après la règle sur la multiplication des déterminants, le déterminant
x, (y, z, — y„ z , ) 4 - Xj (y, 2 , —y, z,) -t-x,( y, z, — y,z,)
est un invariant qui, par la transformation, reproduit une fonction semblable multipliée par le module de la transformation. Or, si nous remplaçons x, par Y* par y— >•••»
nous obtenons un symbole que nous écrirons 123. Lorsque nous voudrons avoir des invariants ou covariants d’une fonction donnée U, nous n’aurons qu’à effectuer sur plusieurs fonctions U„ U„ IL,..., U^, l’opération indiquée par
le produit de plusieurs symboles, tels que i ?.3 . 124 . 235 .... en supprimant tous les indices après la différentiation. Par exemple, si U,, U„ U 3 sont des formes quadratiques ternaires, et que a , b, c, 2 /, 2 g, 2 h désignent, comme aux n°* 72 et 101 , les coefficients de U,, le symbole 123 développé donne
4 - <••( n' b " 4- a" b'- 2 h' h " ) 4- if( g' h" 4- g" h' - a' J” - a" f ) 4 - ,g[h'J" 4- h"f -b' g" -b" g')
REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVARIANTS. 1 3 «
expression qui se réduit, en supposant les trois formes identiques et divisant par 6, à
abc 4 - if gh — af‘ — bg 2 — ch'.
En remplaçant a, coefficient de x 2 , par nous aurons
le développement de 123 appliqué à une fonction ternaire t quelconque. Ce covariant est le Hessien de la fonction.
Un verra, comme au n° 120, que les puissances impaires du symbole ia3 se réduisent à zéro lorsqu’on l’applique à une seule fonction. Nous donnerons pour autre exemple le développement de 123 appliqué à la forme du quatrième degré, ax' H- b y' 4 - cz'
4 - 4 ( a, x'y 4 - a^x'z -t- bii'z 4 - b,y*x 4 - c,z'x 4 - c-iZ*y)
4 - 6 (dy-z- H- ez‘x' -hfx'jr’} 4 - 12 xyz ( Ix 4- my -t- riz ).
La valeur de 123 est
abc — 4 ( «è 3 c ‘ ■+• / ,c > ■+- ca » M •+■ 3 ( ad 2 -1- bt 1 -1- c/” 2 )
+ 4 («Aci 4 - a z b,c.)
— 12 {a,nd 4 - a. nid 4- b, ne 4 - b z /e 4- c,mf 4- c,lf)
4- 12 [lb,c, 4- mc,a, 4 - na z b 3 ) 4- 12 {dl’ 4- e/H’ 4 - fn 1 )
