Le procédé de dérivation employé au n° 126 pour les
formes binaires s'applique sans peine à un nombre quelconque de variables. Supposons par exemple que l’on demande, pour une forme cubique ternaire, I cxpression de l’invariant que l’on obtient en opérant sur le Hessien avec l’évectant
I23.ai2.a23 a3i
du n° 129 : nous aurons à remplacer dans ce dernier symbole
« par 4 4- 5 -+- 6 et à opérer ensuite sur la fonction 456 . En développant et supprimant tous les termes qui contiennent plus de trois fois les figures 4» 5, 6, on trouve pour l’expression cherchée
131. Nous allons maintenant montrer par quelques exemples comment les notations symboliques permettent de transformer l’expression des invariants et des covarianls. La base de ces transformations est, pour les formes binaires, l’identité suivante
dans laquelle D, représente, pour abréger, x
dx,
est aisé de voir en effet qu’en développant, les coefficients de x et jr se réduisent à zéro. Afin de faire mieux comprendre l’usage de cette identité, nous en donnerons une première application avec plus de détail qu’il ne sera nécessaire de le faire ensuite.
Mettant l’équation sous la forme
D, 23 = D, 1 3 — Dji2
et élevant au carré, il vient
D]i3 -4-D''i2 — DJ a3 =2D,D a i2.i3,
relation qui est vraie lors même que les trois formes U,, U 3 , U, sur lesquelles nous sommes censés opérer sont différentes. Mais nous considérons seulement ici le cas d’une seule forme et nous admettrons que U,, U-, U 3 deviennent identiques lors-
REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVARIANTS. 1 37
que l’on supprime les indices des variables; dans ce cas,
nous avons vu ( 120 ) que les trois expressions Dj 2i , Dj 3 i ,
J) J 12 désignent une seule et même chose. L’équation precedente se réduit donc à
I); 1 2 2 13 . Dj 12. i 3 .
Mais en vertu du théorème connu sur les fonctions homogènes, l’opération D exécutée sur une fonction n’a d’autre effet que de la multiplier par un facteur numérique : dans le premier membre de l’équation, J); n’affectant que U-, qui n’est pas différentiée, ce facteur sera n (n — 1); dans le second membre, D,, D 3 affectant des fonctions déjà différentiées une fois, introduisent le facteur n — 1. Par conséquent, en développant, supprimant les indices et divisant par 2(n— 1), nous avons
rrf’U d‘ u
| dx‘ dy
\dxdy I
rrf’U /rfuy
r/’U </ü<fU
d ’ U td\iy I
U** Wr/
dxdy dx dy
h dy- [dx ) J
132 . 11 faut remarquer que toutes les fois que la transformation a pour effet de diminuer le nombre des figures dans le symbole, la forme primitive 1 ) doit apparaître comme facteur dans l’expression de la fonction. En effet, on voit par
l’exemple ci-dessus que 12. i 3 et 12 ne diffèrent que par un facteur numérique; mais comme nous opérons sur trois fonctions U,, U„ U 3 et que le symbole 12 n’affecte pas U 3 , la fonction U doit rester comme facteur, lorsque l’on supprime les indices.
133 . En général, tout symbole peut être transformé de manière que la puissance la plus élevée d’un facteur quelconque 12 soit paire; en effet, le sens du symbole n’étant pas modifié par la permutation des figures 1 cl 2, nous avons
Sm-fl l/M-t-l I î//i-r 1
et, à l’aide de l’identité du n° 131, la fonction tp, — <j>, peut être transformée de manière à devenir divisible par 12 . Ainsi,
lorsque m est impair, les deux expressions 12 . i3 et 12 ne diffèrent que par un facteur; car on a '
2DjI2.i 3=12 (D a l3 — D,23) = D 3 I2 ,
ou bien, n étant le degré de la fonction U sur laquelle on opère,
134. Nous pouvons joindre à l’identité du n° 131 la relation suivante, qu’il est facile de vérifier,
et, à l’aide de ces deux équations, réduire tous les symboles à un certain nombre de formes types que nous indiquerons par des lettres spéciales, l’our deux facteurs, nous adopterons comme type le Hessien
pour trois facteurs,
pour quatre facteurs,
S = 12 (108) ou II' = 12 . 34 ; pour cinq facteurs,
F = 12 . 1 3 ou GH = 12 . i3.45 ;
pour six facteurs,
A = 12 (120) ou T = 1 2 . 23 . 3i (122) ou II 3 = 12 . 34 . 56,
et ainsi de suite. Les exemples suivants feront comprendre la marche à suivre pour ces réductions.
Exemple I. — Démontrer que si l'on remplace dans une fonction U
r. par et y par — , le covariant ainsi obtenu est divisible par U.
‘ dy * d.c
REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVARIANTS. I ilj
Déterminons d’abord l'expression symbolique de ce covariant. La fonc-
tion donnée U peut s’écrire sous la forme Ix ^4-/ ^ j U. Lorsqu'on
y fait la substitution indiquée, chacun des « facteurs prend la forme
d d d . . rf"U/rfU\" .
dj- — ~dÿ dx' covanan * t -j~ j — ... s exprimera donc sym-
dx
boliquement comme produit de n facteurs ia.i3.i4..., l’un des symboles- (celui qui dans le développement donne les dérivées d’ordre n ) restant le même dans tous les facteurs, tandis que l’autte doit être différent pour chaque facteur, afin qu 'après la multiplication on n’ait que des puissances des dérivées du premier ordre. Désignant donc 12 . i3 par Q„ ia.i3.i4 par Qj, I2.i3.i4.i5 par Q ( , etc., nous avons à exprimer Q„ Qj»-Qi>. • • , en fonction des formes choisies comme types.
1 ° La valeur de Q, a été donnée (131 ); calculons celle do Q,. Multiplions l’équation
aDjDj ra. i3 = DJ i3 4 - DJ 12 — DJ 23
du n° 131 par 1 4 ; les deux premiers termes du second membre deviennent identiques, le troisième s’annule, et il vient
DjD, ia.i3.i4 = DJi3. 14 ou bien (// — i) Q, = «GU.
En général, tout symbole peut être condensé en remplaçant chaque couple de facteurs simples ayant une figure commune, tels que ia.i3, par un seul facteur carré au moyen de l’équation précédente. a° Calculons maintenant Q,. Multiplions les deux équations
aD^Tî.T! = DjTa^DjîT- DJai 2 ,
20,0,14.15 = 0(14 4-D;i5 — d; 45 ; il vient, en réunissant les termes semblables,
4 (« — i)‘Q,= DJ 23 3 .45 J - 4 D;DJi 2 '. 45 , 4-4DJDJi2'. 14' = — 3/i («—!)(/» — 2)(/i — 3)H’Ü 4- 4fl’(/j — ij’U’.ia.iS .
Il nous reste à exprimer 12 . i3 en fonction des formes types. Élevons à la quatrième puissance l’équation
l4o ONZIÈME LEÇON.
nous avons, en groupant les ternies semblables,
GDJDjTa'.TT^ 8 Dj 0,77'. 75 - D) 77';
mais, comme au n° 133 on a
8DJD 3 i2 . i3 = 4 DJ i» »
et substituant
a (n — a) (n — 3) ta . i3 = «(« — i)SU;
donc enfin
= — 3n [n — i ) (a — a) 3 (n — 3 )’ H’U + a« 3 (« — iJ'SU'*.
On trouvera les valeurs de Q, et Q, calculées, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. IX, p. a3.
Exemple II. — Démontrer que le Hessien du Hessien est une fonction linéaire de SH et de TU.
Nous avons trouvé ( 120) que l'expression de cette fonction est
4 (Ta 2 . 34 *. 73 : ) 4- 4 (77*. 34 75 . Ï4 ) + 8 Cia’. 34( 75 . 7)j) ,
et il faut prouver que chacun de ces trois termes est réductible à la forme a SH + S TU.
1 ° Commençons par 13 . 34 . i3 . Multiplions par 14 le produit des deux équations
al), D 77.73 = D-7^ : -i-D;73' - D| 73 " ,
30,1174.34= DJ 34 ’ + DJ 34* - DJaT,
il vient
4 DJ DJ ta. 13.34.34 . 14
= aDjTa’.T^.TT -f-D; DjTÎî'.TV — aDJ D] 75 J . 75 ( TV;
mais en élevant au carré l’identité du n° 134, nous avons
a . 14 . la. 1 3. 34 . 34 = i4 (ia . 34 -+- i3 . a4 — 14 • ^3 ) , et, par suite, le premier membre de l’équation précédente devient
4DJDJ la . 34 . >4 — aDJ DJ 14 . a3 ; d'où, en réduisant,
6 DJ DJ la . 34 . 14 = 3DJ DJ 14 • a3 aDJ la . a4 ■ i4
représentation des invariants ET DES COVARIANTS. 1 4 i
ou bien
6 (/i — a) (« — 3 ) ia . 34 • i 3 = 3 [n — 2) [n — 3 ) SH 4- m (n — i) TU.
2° Passons au terme 12 . 34 • > 3 . 24 - Multiplions par 12 le produit des deux équations
— 2D, d, T3 . 34 = d; 34’ + d; 73 2 - dj T4’,
