D; 34 4- D’ 24* — DJ
nous avons
= D;D’ 12.34 4- aDJ DJ 12 . i3 . 24 — 2DJi2.23.3i ;
d où, en remplaçant 12 . i 3 . 24 par la valeur trouvée plus haut,
= 6 [n — 2)’ (n — 3 ) SH — 4 h {* — 1) (« — 2) TU.
3 ° Considérons enfin le terme 12 . 34 . i 3 . 14 . Nous n’avons qu’à remplacer 1 3 . 1 4 par sa valeur tirée de l'identité du n° 131 , et il vient
2 D, D, 77’. 34 ! 73 . 74 = 2 DJ Ta' 34 '. "Ï3 2 - DJ 777 34 ',
et, substituant comme plus haut,
6 (n — 3 )' J 12.34. 1 3 . 1 4 — 2 n [/t — 1) TU.
En réunissant les trois termes, on a donc pour l’expression cherchée une fonction linéaire de SH et TU.
135. Les méthodes précédentes s’appliquent aux formes contenant un nombre quelconque de variables. Pour les formes ternaires, on emploiera les identités
auxquelles on joindra les relations correspondantes pour les contrevariants
» P 123 = D, aa 3 4 - D. a 3 i 4- D 3 a 12, ai 2 .a 34 -Ha 23 .ai 4 -t-a 3 i.a 24 =o,
P désignant, pour abréger, la fonction a.x 4 - {3/ + yz.
Exemple I. — Trouver une relation entre les covariants tlu quatrième ordre d'une forme ternaire du quatrième degré.
Soient a, p, 7, S des quantités quelconques liées par la relation a + P + 7 4 -S = 0.
En élevant deux fois au carré, il est facile de voir que l’on a 8ap7^ = aïa’p’ — la 4 .
Appliquant cette formule à l’équation identique
D, ia3 = D, a34 4- D, 3i4 -+- D 5 124,
nous avons
8D. D 2 D 3 D 4 123 . 124 • 234 . 3i4 = 4DJ 123 — 12D5 DJ ia3 . 124 , c’est la relation cherchée.
Exemple II. — Démontrer que si l’on remplace dans les émanants
d une tonne ternaire x, r, z par 7 — p -7- ; a —j 7 —— >
■ ’ • ‘ • dy ‘ dz dz d.i
p — a -7- > les résultats obtenus sont de ut forme
r dx dy J
Il est aisé de voir que l’expression symbolique de ces résultats est
ai2.ai3.ai4 .a i5 Calculons les valeurs de P,, Q,, P 3 , Q 3 (*).
i° Pour obtenir celle de a 12 . a i3, nous n’avons qu’à élever au carré l'équation
P. ia3 = D, a 23 -+- D, a3i 4- D 3 a 12 ,
et il vient
P 1 . 123 = 3Dj a 12 — 6Dj Dj a 12 . a l3 ,
ou bien, en désignant par II le Hessien ia3 et par G le Hessien bordé a 12 ,
6 ( n — i) 3 a 12 . ÏL3 = 3* (n - 1) GU - P 1 II.
2 0 Calculons maintenant a 12 . a i3 . a 14 . De l’identité précédente, nous tirons également
— 2Dj Dj a 12 . ai3
= P’. 123 — 2 PD, 123 . aa3 4- DJ aa3 — DJa3i -*DJai 2 !
(*) Celte question se présente dans la recherche des doubles tangentes aux courbes planes (voir l’ouvrage de M. Salmon, Higher plane Curves, p. 81).
REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVAR1ANTS. Iq3 multipliant par a i\ , deux des termes se réduisent à zéro et il reste
— a [n — IJ 5 a 12 . a i 3 . a 14 ~ P’. 123 . a 14 — an [n — i) U aia . «i 3 .
Pour prouver que 123.a23.z14 se réduit à zéro, nous n'avons qu’à multiplier par 123 l'équation identique
et ses trois termes, ne différant que par des permutations des figures 1, a, 3 , doivent se réduire séparément à zéro.
136. Dans l’exposition précédente des méthodes symboliques nous avons suivi la notation et les procédés primitivement employés par M. Cayley. Nous allons maintenant faire connaître quelques modifications introduites par MM. Aronhold et Clebsch, qui ont manié les méthodes symboliques avec beaucoup de succès, mais peut-être sans se rendre parfaitement compte de l’identité de leurs procédés avec ceux qu’avait imaginés antérieurement M. Cayley. Ils désignent les variables par x,, x 3 , x 3 ,. . . , et les coefficients par des indices correspondants aux variables qu’ils multiplient. Ainsi les formes ternaires du troisième et du quatrième degré sont désignées par les notations 1a,uXi xt x t , x t x 1 x/ x m , les nombres t,
h, l, m, pouvant recevoir les valeurs 1 , 2 , 3, 4 . Il faut remarquer que dans cette notation a,a=am — am, de telle sorte qu’en effectuant les sommes indiquées on obtient une forme écrite avec les coefficients du binôme. Ainsi en faisant la somme 2 amx,xixi , les trois termes a ll ,x, x,x„ a „ x, x,x lt ajnXjXtX, sont identiques : il en est de même des six termes
&I23 X I Xj X$y Éf|33 X \ X ± X .'» &'1\3 Xi X 1 «J? J* &23\ Xi X3 X \ f X ± X j X*f
a 3 3 ,x 3 x 3 x,, de telle sorte que la somme développée est
(li n X i X 1 X\ - 4 - fljjj Xi Xi X 2 —H fljj] X 3 X 3 X j
Et ainsi de suite en général. M.Aronhold se sert en outre, pour désigner d’une manière abrégée une forme quelconque, de
l’expression symbolique •
( «, X, -f- fl; X, -+- fl 3 X 3 -t- . . . J",
dans laquelle on doit, après le développement, remplacer les produits tels que «,«*«/ par les coefficients correspondants a, w . Ainsi la forme cubique ternaire ci-dessus s’écrit
( a, - 1- fl: X t -t- a 3 X 3 )* ;
les termes a, a, a, x, x t x,, 3 a, a, a x, x, x, + . . dans le développement du cube devant être remplacés par a,,, x x x, x,, 3fln: -Ci Xi Xi . ... La forme aurait également pu s’écrire
(b,x, -f- b,x 7 ■+■ b.Xjf, 4- c,x, -h c 3 x 3 )\
les produits b, b , b„ c, c,c 3 , . . . , devant aussi être remplacés par
les coefficients a iit La règle donnée par M. Aronhold
pour la formation des invariants consiste à former avec a,, a,, a 3 , b ,, b,, b 3 , . . . , un certain nombre de déterminants, à les multiplier et à remplacer après la multiplication les produits fl,a*a/, b m b n b p , . . . , par les coefficients a ai, a mnf , .... C’est ainsi que „ M. Aronhold a le premier découvert un invariant fondamental de la fotme cubique ternaire en formant le produit des quatre déterminants 2±a,6 2 cv,, 2 ± b,c,d 3 , 2 dt c,d 2 a,, 2±</,a,6-, et effectuant ensuite les substitutions que nous venons d’indiquer. l.e même invariant dans la notation de M. Cayley s’écrirait (129)
137. Pour faire voir que les deux méthodes sont au fond identiques, il suffit de remarquer que, d’après le théorème connu des fonctions homogènes, une fonction quelconque « du degré n ne diffère que par un facteur numérique de
^ d oc 1 d oc -, d oc .i J
de telle sorte qu’en l’écrivant sous la forme
les symboles a„ a ; , a 2 ,. . . ne diffèrent que par un (licteur nu-
REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVARIANTS. l45
mérique des symboles différentiels -£-■> -r— > Nous
r doC\ tiXi ax*
parviendrons donc évidemment au même résultat, soit en formant, comme M. Cayley, des déterminants avec les symboles
différentiels f -i -r~> -rri •••■> soit en les formant, comme
dx, dx, djt s
M. Aronhold, avec les symboles a,, a., a 3) . . . .
Tous deux font en outre usage du même artifice. Si l’on multiplie un certain nombre de symboles différentiels
{tx +1 7ç)
et que l'on opère ensuite sur U, le résultat sera une fonction linéaire des dérivées de U d’un ordre égal au nombre des facteurs du symbole, et de cette manière on n’aurait jamais de coefficient différentiel à une puissance supérieure à la première. Lors donc que l’on demande de composer le symbole d’une fonction renfermant des puissances de ces dérivées, l’artifice auquel recourait M. Cayley consistait à écrire avec des variables différentes, les facteurs du produit
\rfxi dy,)\dx 2 ^ dx j/ ’
pour opérer sur plusieurs fonctions U„ U„ . . . , puis à identifier ces variables après la multiplication. De même, M. Aronhold emploie dans ses produits symboliques des symboles distincts qui reprennent la même signification une fois que la multiplication est effectuée. En multipliant les symboles a„ a*, a/,..., on ne pourrait obtenir que des termes renfermant les coefficients am à la première puissance. Pour exprimer symboliquement des fonctions renfermant les coefficients à un degré plus élevé, l’artifice consiste donc à faire usage de plusieurs séries de symboles a,, a*, ar, bi, bi, 6/,. . ., les produits a, ai a/, bj bk b/, ^ ci, ci , .... désignant tous le même coefficient am.
138. Après avoir exposé dans tous ses détails la méthode de M. Cayley, il est inutile d’insister plus longuement sur une autre
IO
méthode qui n’en diffère que par la notation. Nous ferons seulement connaître ici comment M. Clebsch a démontré que tout invariant peut s’exprimer au moyen de produits symboliques. Soit <p (a, b, c, . ..) un invariant d’une forme unique ; il a été démontré (90) qu’en effectuant sur lui l’opération
a’ *4- b' —ff + ..., on aura un invariant commun de deux forda db
mes ayant l’une a , b, c,..., l’autre a', b’, c',... pour coefficients correspondants. En effectuant de même sur ce nouvel inva-
nous aurons un înva-
riant 1 operation a! ~r -4- o -rr 4r da db
riant de trois formes et nous pourrons la répéter tant que les coefficients a, b, c , . . . , figureront dans l’invariant. On peut donc, si l’on a un invariant d’une forme unique contenant les coefficients au degré p, en déduire un invariant d’un système de p formes qui contiendra les coefficients de chacune d’elles au premier degré, et l'on revient d’ailleurs à l’invariant primitif, en supposant que les p formes redeviennent
identiques; car l’opération a -i- b -h . . . ne fait qu’y introduire un facteur numérique. Si nous supposons, en outre, que toutes les formes nouvelles ainsi introduites sont des puissances»'""" parfaites, nous parvenons à ce résultat que ( de l’invariant donné d’une forme unique, on peut déduire un invariant d’un système de p formes
et, ainsi que nous venons de le dire, on revient à l’invariant primitif en remplaçant chaque coefficient des nouvelles formes par son correspondant dans la forme primitive, en remplaçant par exemple a", b ", c ”, . . ., par le coefficient de x" dans la forme primitive. Les invariants des fonctions
( a, Xy ■+■ . . . ) n , [b, x, -t- . . .)",
sont évidemment des invariants des fonctions linéaires a, a b, x, -r . . . .
REPRÉSENTATION DES INVARIANTS ET DES COVARIANI8. . 1 4 7
Il est donc démontré que tout invariant de l’ordre p d’une forme unique peut être exprimé symboliquement comme invariant d’un système de p formes linéaires: le seul point qui nous reste maintenant à démontrer est que ce dernier invariant est nécessairement une fonction des déterminants formés avec les coefficients de ces fonctions linéaires. Nous renverrons, pour la démonstration de M. Clebsch, au Journal de Crelle, t. LIX, p. 7, cette démonstration, sans présenter de véritables difficultés, exigeant d’assez longs développements et beaucoup d’espace. On peut encore s’en rendre compte à l’inspection des équations différentielles des invariants. Ainsi, pour un système de formes linéaires ax + by- 1 -..., tout invariant doit satisfaire à l’équation
dl
da
wfîl
da!
, U1 ,. Ml d\
laquelle, intégrée comme une équation ordinaire aux différences partielles, donne pour I une fonction des déterminants ab' — a' b, ab" — a" b, . . . et de même en général.
139. Puisque les invariants et les covariants conservent leurs relations mutuelles quelles que soient les transformations linéaires que l’on fait subir à la fonction, il est clair que, pour étudier ces relations, il suffira de la discuter sous la forme la plus simple à laquelle elle puisse être ramenée. On étendra ainsi aux fonctions renfermant un nombre quelconque de variables la méthode avec laquelle le lecteur est déjà familiarisé pour les formes à trois et quatre variables; lorsque l’on veut, en effet, étudier les propriétés d’une courbe ou d’une surface, tous les géomètres savent quels avantages procure un choix d’axes de coordonnées permettant de ramener l’équation de la courbe ou de la surface à sa forme la plus simple (*). Cette forme la plus simple à laquelle une fonction puisse être ramenée sans perdre sa généralité, est ce que l’on appelle sa forme canonique. Nous pouvons, en comptant simplement les constantes, reconnaître si une fonction proposée est assez générale pour être prise comme forme canonique d’une autre fonction donnée; car, si elle ne contient pas explicitement ou implicitement autant de constantes que cette dernière prise sous sa forme la plus générale, la réduction ne sera pas toujours possible(**). Ainsi, une forme cubique
(*) Il faut toutefois reconnaître que les progrès de l’analyse qui permettent de traiter plus facilement les fonctions sous leur forme générale, tendent à restreindre l’avantage de leur réduction à une forme plus simple.
(**) Il n’est cependant pas vrai que réciproquement une forme qui contient le nombre convenable de constantes soit nécessairement une de celles auxquelles on peut ramener la fonction générale. Car si nous cherchons, par la comparaison des coefficients, à l’identifier avec cètte dernière, bien que le nombre des
binaire peut être ramenée à la forme X s Y a , car cette dernière, étant équivalente à
( Ix -4- myf -t- (/'x -t- m' y) 1 ,
contient en réalité quatre constantes, et, par suite, est aussi générale que
De même, une forme cubique ternaire contient, en général, dix constantes, mais la forme
X a + Y 1 H- Z a + 6MXYZ
en contient également dix, puisque, indépendamment de la constante M qui apparaît explicitement, chacune des quantités X, Y, Z en contient implicitement trois autres. Cette dernière peut donc être prise comme forme canonique d’une forme cubique ternaire, et, en effet, les progrès les plus importants qui aient été faits récemment dans la théorie des courbes du troisième degré, sont dus à l’emploi de cette expression simple et commode.
équations soit égal k celui des quantités k déterminer, il peut arriver que les constantes y figurent de telle sorte que les équations ne puissent être toutes satisfaites. Ainsi la forme »
( x — a )* -4- ( y — /3 )* = lx -h nty -+- n
renferme cinq constantes, et cependant elle n’est pas une de celles à laquelle on puisse ramener la forme quadratique ternaire prise dans toute sa généralité. En effet les constantes y figurent de telle sorte que, bien que leur nombre soit plus que suffisant pour identifier les coefficients de x, y et le terme indépendant à ceux d’une forme quelconque, nous n’avons cependant aucun moyen d’identifier de même ceux de x*, xy et^*.
Un exemple plus important est le suivant :
s, u , v étant des fonctions linéaires. Dans le cas d’une forme ternaire, cette forme contient implicitement quatorze coustantes indépendantes, et dès lors paraît être une de celles auxquelles peut se ramener la forme générale du quatrième degré. M. Clebscli a cependant fait voir qu’il existe une condition qui doit être remplie pour que la réduction soit possible et que celte condition consiste en ce qu’un certain invariant doit se réduire à zéro.
l5o DOUZIÈME LEÇON.
140. La fonction quadratique (a, b, clx, y) 7 peut être ramenée d’une infinité de manières à la forme x 7 4- y 7 , puisque cette dernière comprend quatre constantes et la première seulement trois. La forme quadratique ternaire, qui contient six constantes, peut de même être ramenée d’une infinité de manières à la forme x 7 4- y 7 4 - z 7 , qui en contient neuf, et, en général, une forme quadratique à un nombre de variables quelconque peut être réduite d’une infinité de manières à une somme de carrés. Il faut cependant remarquer que, bien que celte réduction à une somme de carrés puisse s’effectuer d’une infinité de manières, néanmoins le nombre des carrés positifs et négatifs est déterminé. Ainsi, une forme binaire qui peut être ramenée à la forme x 7 -t -y 7 , ne saurait prendre la forme u 7 — v 7 ; les deux expressions x 1 + y 7 , u 7 — v 7 ne pouvant être identiques, puisque les facteurs de l’une sont imaginaires, tandis que ceux de l’autre sont réels. De même, pour les formes ternaires, nous ne pouvons avoir
x 7 4- y 2 — z 7 = u 7 - 4 - v 7 4- tv*,
puisqu’on aurait par suite
ou, en d’autres termes,
x 7 4- y 7 = j’4-(fe4 my 4- nz) 7 4- (/' x 4- m! y 4- n' z) 7 .
et si nous faisons x = o et/=o, l’un des membres de l’identité s’annule, tandis que l’autre se réduit à une somme de quatre carrés positifs qui ne saurait être nulle; le même raisonnement s’applique en général.
141. Nous commencerons par montrer qu’une forme cubique binaire peut toujours, ainsi que nous l’avons annoncé, se ramènera une somme de deux cubes. Celte réduction constitue en fait la résolution de l’équation du troisième degré, puisque la forme ramenée à la somme X 1 4- Y* se décompose
immédiatement en facteurs linéaires. Si la forme donnée (a, b, c, d\x,y)* devient, par une transformation,
