AX* + DY

pour déterminer A et D.

Exemple. — Réduire 4 jt 1 -f- g •r , 4 - 18.14-17 à la forme AX’ -+- DY J .

Le llessien est

(4x+ 3 ) (6x4-17) — ( 3 x-t- 6)’, ou

i 5 .r 3 -f- 5 ox- 4 -i 5 ;

ses facteurs linéaires sont x+ 3, 3x -+- 1 . Identifiant la forme donnée avec l’expression

nous avons d’où

A et D sont donc dans le rapport de 5 à 1, et la formo cubique donnée ne diffère que par un facteur (ce facteur est 8) de

l5a DOUZIÈME LEÇON,

il est clair que les racines seront données par l’équation 3 jr I +(.r + 3)y / 5 = o.

142. Il est évident qu'une forme cubique ne peut pas toujours être ramenée à la forme AX 3 + DY 3 par une transformation réelle, puisque celte dernière a un facteur réel et deux facteurs imaginaires, et, par suite, ne peut s’identifier avec une lorme dont les trois facteurs seraient réels. Le discrîrni-

nant du Hessien

4(ac — b') [bd — c 3 ) — (ad — bc ) 3

est, avec un signe contraire, le même que celui de la forme cubiquè; Quand ce dernier est positif, le Hessien admet deux facteurs réels, et la forme cubique un facteur réel et deux imaginaires; quand il est négatif, les deux facteurs du Hessien sont imaginaires, et la forme cubique a trois facteurs réels. Quand le discriminant se réduit à zéro, le Hessien et la forme elle-même ont deux facteurs égaux, et l’on peut vérifier directement que le Hessien de X 3 Y est X J {*).

11 est à remarquer qu’une forme ne peut pas toujours être ramenée à sa forme canonique. L’impossibilité de la réduction indique alors l’existence de quelque particularité dans la fonction. Ainsi, une forme cubique qui a un facteur carré ne peut être ramenée à une somme de deux cubes, sa forme la plus simple étant x’y.

143. Ue même qu’une forme cubique peut être ramenée à une somme de deux cubes, toute forme binaire de degré impair 2 n — i peut se réduire à une somme de «puissances de degré 2 « — i, théorème dû à M. Sylvesler. En effet, le nombre des constantes dans une forme binaire est toujours supérieur d’une unité au degré; dans le cas qui nous occupe, ce nombre est i n, et nous avons précisément le même nombre de constantes en prenant n termes de la forme (Ix + my)*"-'. La

(*) En gênerai, quand une forme binaire admet un facteur carré, il en existe également un dans le Hessien, ainsi qu’on peut le vérifier en calculant directement celui de x’p.

transformation peut s’opérer par une méthode qui est la généralisation de celle du n° 141. Pour plus de simplicité, nous l’appliquerons au cinquième degré, mais elle est générale. La question se réduit à déterminer u, v, iv, de telle sorte que

(a, b, c, d, e,f\x, y )* = u 1 -i- v i 4- Nous allons prouver que, si l'on (orme le déterminant

ax 4 - by bx -i- cy ex 4 - dy

bx -l- cy ex -t- dy dx 4- ey i

ex + dy dx -h ey ex -t- j y

les trois facteurs de cette fonction du troisième degré seront u, v, w. Soient, en effet,

u = lx-hmy, v — l'x-Y-m'y, iv = l" x -t- m" y;

en différentiant l’identité

(a, b, c, d, e, f \x , yf = « s 4 v s 4 - tv‘

quatre fois successivement par rapport à x et divisant par 120 , nous avons

ax 4- by = l'u -t- V'v 4- l”*w,

différentiant de même trois fois par rapport à x et une fois par rapport à y, il vient

bx -t- cy — l‘mu -4- l’ 3 m' t» 4 -

et ainsi de suite.

Le déterminant qui précède peut donc s’écrire

/*« + /'*(> 4 l”'(v l* /«« 4- /'* ni v 4- /” ni" iv l* m 1 u + l n ni 1 v 4 ni " 1 w

P mu 4 - l'^n'v H- l n m’iv Pm t u-\-l'*m n t>+-/ n m l ' , u’ lm i u+l'm n v+l“ m n w ni 1 «< lui u + l'm^v-yl" tn n <v m' u 4- ni* v 4- ni' «•

Remarquons maintenant que les coefficients de u, dans chaque colonne, sont proportionnels à /’, Im, m 3 ; par suite, si nous résolvons ce déterminant en déterminants partiels, comme au n° 22, tous ceux de ces déterminants qui contiendront deux colonnes où entre « s’évanouiront comme ayant deux colonnes identiques; il en sera de même de ceux qui

I 54 DOÜZIÈMK LEÇON.

contiendront deux colonnes où entre v ou w. Le déterminant se réduira donc au produit uvw, multiplié par un facteur numérique ( *).

Lorsque l’on aura décomposé le déterminant écrit au commencement de ce numéro en trois facteurs

(x 4-Xj)(x-+-fA/)(x 4-vj),

en résolvant une équation du troisième degré, on saura que u, v, w ne peuvent différer de ces facteurs que par des coefficients numériques; on posera

= A (x •+• -+- B(x -t- fiy)* H- C(x - 4 - vjrÿ,

et l’on déterminera A, B, C en résolvant l’un des systèmes d’équations que l’on obtient en égalant trois coefficients pris dans les deux membres de cette identité.

Le déterminant dont noüs avons fait usage est un covariant, que nous appellerons covariant canonique de la forme donnée.

144. Ce covariant peut s’écrire sous une autre forme, qui est peut être plus simple, savoir :

1 y* — y'x yx’ — x s

Nous aurions été conduits à cette dernière forme si nous avions suivi la marche qui se présentait le plus naturellement en cherchant à déterminer directement les six quantités A, B, C, X, fjL, v, à l’aide des six équations que fournil là comparaison des coefficients dans l’identité du n° 143. Nous ne pouvons consacrer ici assez d’espace au développement de la solution sous cette forme, et nous renvoyons le lecteur au Mémoire de M. Sylvester ( Philosophical Magazine, nov. i85i ). L’identité du dernier déterminant avec celui du numéro pré-

(*) Ce facteur est ( Im ' — /'ni)’ (l'm " — l’m')' (l"m — /m")*.