FORS

cèdent a été démontrée

ahoniques. i55

. Cayley ainsi qu’il suit. Nous

avons, par la règle de ni* iplication des déterminants (22),

jrx 2

y ax -+- by bx -+- cy ex -t- dy

6 bx -+• cy ex -4- dy dx -t- ey

I o ex . -b dy dx -t- ey ex -+- fy \

en divisant dek deux côtés par y 1 , on a l’identité demandée.

145. Nous avons encore à mentionner une autre méthode pour trouver le covariant canonique. Soit (A, B, C, DJx, y)’ ce covariant, où l’on doit déterminer A, B, C, D; nous avons

vu ( 107 ) que le symbole (A, B, C, D fournira aussi

un covariant. Mais, si l’on applique celte opération à ( x -+- Xy)\ x -t- Xy étant un facteur de (A, B, C, DJ x, y) 1 , le résultat se réduira à zéro, puisque l’un des facteurs du symbole est d „ d

thèse, la somme de trois termes tels que (x -t- Xy )‘, le résultat que l’on obtiendra en lui appliquant celte opération sera nul. Nous avons ainsi

-, X^*Donc, puisque la forme donnée est, par hypo-

A (d, e,flx,y)'—B{c, d, e\x, y)’

Égalant séparément à zéro les coefficients de x 3 , xy, y% il vient

Ad — Bc-t-Cô — D«~o,

Ae — Brf+Cc— Dô = o,

A f — Be+Crf — De = o.

Par suite (28), A est proportionnel au déterminant que l’on

obtient en supprimant la colonnqA. c’est-à-dire à

abc b c d c d e

de même, pour B, C, I); on obtient ainsi le covariant sous la forme donnée au numéro précédent.

146. Passons maintenant aux formes de degré pair 2 ». Puisque la forme contient m ■+■ 1 termes, si nous l’égalons à une somme de n puissances de degré 2 n, nous avons une équation de plus que nous n’avons de constantes à déterminer. D’un autre côté, si nous ajoutons une puissance 2 n'*'"' de plus, nous avons une constante de trop, et la forme donnée peut être réduite d’une infinité de manières. Il est cependant facile de déterminer la condition qui doit être remplie pour que la forme soit réductible à une somme de n puissances de degré 2 / 1 . Ainsi, les conditions nécessaires pour qu’une forme du quatrième degré et une forme du sixième soient réductibles, la première à la somme de deux quatrièmes puissances, la deuxième à la somme de trois sixièmes puissances, s’expriment en égalant à zéro les déterminants

a b c il b c d e c d e f

et ainsi de suite. En effet, dans le cas du quatrième degré, les éléments du déterminant sont les dérivées du quatrième ordre de la forme, et, en les exprimant en fonction de u et v, comme au n° 143, il est facile de voir que le déterminant se réduit à zéro si la forme peut être ramenée à la somme de deux termes n* 4 - v‘. De même pour les autres cas. Le déterminant développé pour le cas du quatrième degré est l’invariant déjà donné (108, Exemple I)

ace -1- a bcd — ad 1 — eb 3 — c’.

FORMES CANONIQUES. t57

147. Lorsque cette condition n’est pas remplie, la forme est réductible à la somme de n puissances, avec un terme additionnel. Ainsi, la forme canonique est, pour le quatrième degré, 4 - e* -4 6 Xk’*»’. Nous commencerons par ce dernier cas; la méthode que nous emploierons, n’est pas la plus facile dans ce cas particulier, mais c’est celle qui montre le mieux comment la réduction doit s’opérer en générai. Soit donc (A, B, C\x, y) 1 le produit de u et v que nous cherchons à déterminer, et effectuons l’opération

sur les deux membres de l’identité

(a, b, c, d, e v ^x, yY — u' -4- -+- bÀM'e’.

De même que plus haut (145), l’opération exécutée sur et v* donnera un résultat égal à zéro; sur 6 Xh , c , > elle conduira à iiV uv, X' étant égal à a(4AC — B J )X. Égalant les coefficients de x *, xy, y' après avoir effectué les opérations, nous avons les trois équations

Ac — 2 Üb + Ca = y A,

Ad — 2 Bc 4 -C 6 = X'B, e — 2 B d 4- Ce = X' C.

Éliminant A, B, C, on a pour calculer X', le déterminant

qui, développé, donne l’équation du troisième degré

. X'* — (ae — 4 bd -t- 3c 1 )

— 2 ( ace -f- 2 bvd — ad 1 — eb 1 — c 1 ) = o ( * ),

(*) I.e discriminant de cette équation est le même que relui de la forme du

quatrième degré.

l58 DOUZIÈME LEÇON.

dont les coefficients sont des invariants. Il existe donc une remarquable différence dans la réduction des formes binaires à leur forme canonique, suivant que le degré est pair ou impair. Dans ce dernier cas, la réduction est unique* et le système u, v, m, ... ne peut être déterminé que d’une seule manière. Lorsque le degré est pair, on obtient plusieurs systèmes de solutions. Ainsi, dans le cas qui nous occupe, une forme du quatrième degré peut être ramenée de trois manières à sa forme canonique, et si nous prenons pour X' l’une des racines de l’équation du troisième degré, en substituant sa valeur dans le système d’équations précédent, nous pourrons déterminer A, B, C.

H8. Si nous passons maintenant à la réduction de la forme générale [a , , a„ . .Jx, /)”, la forme canonique qui parait

la plus naturelle est -+- v 2 " ■+- w ™ -+- -+- Xm’c 2 iv’. . . . le

nombre des quantités u, v, iv . . . étant n. Mais la réduction est accompagnée de difficultés qui n’ont encore été surmontées que dans le cas de n = 2 et n = 4* Cependant la méthode précédente peut encore être appliquée si nous prenons pour forme canonique la fonction

XV uv<x ’. . .,

dans laquelle uvw. . . étant égal à

V est un covariant de cette dernière fonction tel, que, si l’on effectue sur \uvw... l’opération

le résultat soit proportionnel au produit uvw Supposons

pour un instant que nous ayons trouvé une fonction V qui remplisse ces conditions, en procédant comme au numéro précédent, et opérant avec le symbole indiqué plus haut sur l’identité que l’on obtient en égalant la forme proposée à sa

forme canonique, nous avons le système d’équations

A# et*,

fl»

A j Cf 71 -4-1 •

d’où, éliminant A 0 , A,, A 2) . . on lire le déterminant

fl» — X

• • • Cfj/i

Cf*-,

a tt -\ — X n

fln-f-i •

• • fl»— 1

... A»+xn

Ayant trouvé X en égalant ce déterminant à zéro (équation remarquable, dont tous les coefficients sont des invariants), les équations précédentes permettront de déterminer les valeurs de A„ A„. . . correspondantes aux n -t- i valeurs de X.

149. Pour appliquer cette théorie au cas d'une forme du sixième degré, la forme canonique est

u* •+• v‘ «'* -+- V uvw.

(*) Ce déterminant peut encore être obtenu ainsi qu’il suit. Soient x J , y' deux variables qui se transforment par la même substitution que x t for* mous la fonction

(*'éc+ y

qui se change par une substitution linéaire en une fonction semblable (92 et 98); prenons les /i-f- i coefficients des puissances x", x J, ~ x t y t .»., et éliminons linéai- * . rement les n-h i quantités x ,R , nous obtiendrons le déterminant en

question.

ifio

où uvw étant égal à

V est l’évectant du discriminant de celte dernière fonction, dont nous avons donné l’expression développée { 109). Nous allons faire voir un excellent exemple de l’emploi des formes canoniques en montrant que, pour une forme cubique quelconque, le résultat de l’opération

(fl#, o, , o,,

effectuée sur le produit de la forme elle-même par l’évectant que nous venons de mentionner, est proportionnel à la forme primitive. Car il suffît de le démontrer pour le cas. où la forme cubique est réduite à sa forme canonique x 3 -4- y 3 , et l’évectant à x 3 — y 3 , comme on le voit en faisant b = c—o et a-= d — i dans l’expression donnée (109). Le produit de la forme par son évectant sera x 3 —y*, et, en opérant avec le symbole

dy 3 dx 3 '

on obtient évidemment un résultat proportionnel à x 3 -+- y*. Ce théorème étant indépendant des transformations linéaires, est vrai en général s’il est vrai pour une forme spéciale. La forme canonique étant donc prise comme plus haut, nous procéderons comme au numéro précédent, et nous tirerons X de l’équation

fl.

fl, — X

+ jx

qui, développée, ne contient que des puissances paires de X. Si nous supposons le produit uvw réduit à sa forme canonique

FORMES CASOMQt'ES.

x 3 dont les trois facteurs sont

w étant une racine cubique de l’unité, il est évident, d’après ce qui précède, que la forme canonique correspondante pour la fonction du sixième degré sera

A(.r+J)' + B(ar + wy)* -t- C(x •+• or y Y -+- D(ar ,: — y").

On peut prouver ( 155) que, si u, v, w sont les facteurs de l’expression cubique, ceux de l’évectant dont nous avons fait usage sont u — v, v — w, w — u, de telle sorte que la forme canonique ci-dessus peut aussi s’écrire

«" -t- e* -t- w* -4- Xmiw( « — v)(v — u’ ) (<v — u).