Dans le cas du huitième degré, la forme canonique esi

ii» 4 v » 4- (,.* 4 z * -t- 1 u 7 v ■ »’ 7 z 7 ; t

car, si nous opérons sur u 7 v 7 iv‘ z 7 avec un symbole formé sui vant la méthode des numéros précédents, le résultat sera proportionnel à uvwz.

Quant aux formes canoniques plus élevées, nous nous contenterons de mentionner celle de la forme cubique ternaire due à M. Hesse

x 3 -h y 3 -4- z 3 -+- 6mxyz,

et celle que M. Sylvesler a donnée pour la forme cubique quaternaire

151. Lorsque l’on adopte , comme nous venons de le faire (143, 150), pour forme canonique d’une fonction à n variables une nouvelle fonction à n -4-t variables (ces dernières étant liées par une équation linéaire), on peut se demander qpelle forme prennent alors les contrevariants, et comment on peut déduire les covariants et contrevariants les uns des autres par différentiation mutuelle (106) sans qu’il soit nécessaire de repasser par la forme générale à n variables.

Supposons que nous ayons un contrevarianl d’une forme

JÔ2 DOUZIÈME I.EÇON.

ternaire, nous pouvons ( 101 ) le considérer comme un invariant commun de cette forme et de la fonction linéaire xÇ-xyn + zÇ. Si l’on introduit dans l’expression de la forme une nouvelle variable v liée à x, y, z par la relation identique

et que l’on écrive par analogie la fonction linéaire ci-dessus avec une variable 0 de plus, elle devient

x \ 4- ym -4- z Ç 4- v 0 ;

ou, en y remplaçant v par — (x -xy ■+■ s),

x& — 6) -xy{n — 0)4-*(Ç — 0).

L’expression du contrevariant à quatre lettres Ç, vj, 0 se déduira donc de l’expression primitive à trois lettres, en remplaçant ij, n, Ç par g — 0, n — 0, Ç— 0, et, sous cette forme, le contrevariant sera fonction des différences entre ces quatre quantités.

Exemple. — Considérons la forme quadratique ternaire («, c, /, g , h\ x, y, a)*;

mettons-la sous la forme ax 7 4- by i + cz 7 4- dv 7 , qui revient, en remplaçant epar — (i + y + z )i « (« + b + d, c+ d, d, d, d\x, x, z) 2 , et cherchons, sous cette nouvelle forme, ce que devient le contrevariant (bc — j 7 ) % 7 +. . . (101 ). D’après ce que nous venons de dire, nous avons à remplacer dans l’expression [bc — p)% 7 +. . . , a, b, c, par ei+d, b +d, c+d-, f, g, h par </; enfin ?, », g par £ — 9, » — 9, g — 9, et il vient

(éc4- cd + bd) (5 — 0 ) 5 4 - ( ca -f- cd + ad) (» — O) 7 + [ab + nd + bd) (g — O) 7 — iad[x — 9) (Ç — 9|

- airf(Ç - 9) (g - 9) - a «rf(Ç -•)(»- 8),

ou en réduisant

/«•{§ — 0) 2 + ca (» — 0 )* H— ab (g — 0) 1 4- cd [\ - »)’ 4- bd[l - g) J 4 - «/(* - Ç) 1 ou, sous une forme abrégée,

1cd(l — r, ) 7 .