Nous savons que nous pouvons remplacer dans les

conirevanants par -, -j-, -p pour opérer sur un co-

variant; si ce dernier est exprimé avec quatre variables x, y , z, v, la variable x entrant à la fois explicitement et implicitement comme comprise dans v, la dérivée par rapport à x est

d d dv , , , . ....

j — l — r ~r~ ou > en vertu de la relation qui lie v a x, y, z, dxdvdx ^ J

j -r ; de meme pour -j-» -r-» Le contrevariant deviendra

dxdv 1 dy dz

donc un symbole propre à opérer sur une fonction à quatre lettres, en y remplaçant Ç , vj , Ç par -p— fjj. —

p — mais nous venons de voir qu’en remplaçant £, y, 'C,

par \ — 6, y — 9, Ç — 0, on donnait au contrevariant la forme à quatre lettres. Il nous suffira donc de remplacer, dans celle

dernière forme* £, y, Ç, 9 par nous avons

ainsi la faculté, une fois que nous avons trouvé un contrevariant à quatre lettres, d’en déduire un nouveau covariant sans recourir aux calculs laborieux qu’exigerait le retour à la forme à trois lettres.

Exemple. — Le contrevariant de la forme ternaire a.r 2 - 1- by‘-\- cz 2 +dv 2 est ~crl{l — 73 )* ; si l'on y remplace? par » ot <l ue I on opère avec

le symbole -«/ (pjr c — sur la forme elle-même , il vient, abstraction faite d’un facteur numérique,

bal 4- abd 4- <ird 4- abc.

C'est, sous celte nouvelle forme, l’expression du discriminant , ainsi qu’on peut le vérifier sans peine en remplaçant dans la valeur générale de cette quantité < 7 , b, c par a 4 -d, b 4 d, c 4- d , et /, g, b par d.

Nous démontrerons de même que nous pouvons remplacer

dans un covariant x, y, z, v par^ ? ^ pour operer

ensuite sur un conlrcvariant; en effet, il est clair que nous

pouvons d’abord remplacer x, y, z par

dl' d-n' dC,'

et v par

(ddd\ .

— \ tP + dx, Ht ) ; mais e conlrevananla f| l,atre lettres se

déduit du conlrevariant à trois lettres en remplaçant $, r,, t par 1—0, n — 0, t — 6, et les dérivées par rapport à £, yj, t sont les mêmes sous l’une et l’autre, de ces deux formes, tandis que la dérivée de la première par rapport à 0 est égale à la somme prise avec le signe — des dérivées de la deuxième par rapport à £, n, Ç.

Nous verrons, dans les leçons suivantes, de nombreuses applications de ce théorème.

tt

APPLICATIONS AUX FORMES BINAIRES (2 e , 3' ET A' DEGRE).

153. Après avoir exposé les points les plus essentiels de la théorie générale, nous allons, dans cette leçon, l’éclaircir par des applications et étudier, dans quelques-uns des cas les plus simples, les différents invariants et covariants qu’une forme donnée peut admettre. La méthode du n° 88 montre qu’une forme binaire a, en général, n — 2 invariants indépendants. Il a été démontré, en effet, qu’il peut y avoir n — 3 invariants absolus; et puisque, d’après le n° 89, on peut déduire un invariant absolu de deux invariants ordinaires, le nombre de ces derniers surpasse d’une unité celui des invariants absolus. Si l’on a deux invariants, S et T, du même degré, la fonction S -+- «T, a étant un facteur numérique, sera également un invariant; mais nous ne la considérerons pas comme un nouvel invariant essentiellement distinct de S et T. De même, si S est du second degré et T du troisième, la fonction S 1 - 1 ne sera pas un invariant essentiellement distinct de S et T. Mais, si un autre invariant R ne peut s’exprimer rationnellement en fonction de S et T avec lesquels il est lié par une équation telle que R J = S* -t- <z T 1 , nous considérerons R comme un nouvel invariant distinct, bien que non indépendant de S et T. Ainsi, bien que le nombre des invariants indépendants d’une forme soit n — 2 , ainsi que nous l’avons déjà dit, le nombre des invariants distincts est indéfini au delà du sixième degré. Si l’on a un système de deux formes des degrés m et n, on verra, en suivant la méthode du n° 88, que le nombre des équations qui doivent être satisfaites est m ■+■ n -+- 2 , et que le nombre des constantes dont nous pouvons disposer n’étant que de 4, il doit y avoir m ■+- n — 2 invariants absolus, et

l66 TREIZIÈME LEÇON.

m -+- /i — i invariants indépendants. C’esi-à-dire que le système des deux formes admettra, en général, trois invariants indépendants en sus des ni — 2 et « — 2 invariants qu’admet cliaque forme en particulier. Cependant, si l’une des formes est du premier ou du second degré, il n’y aura que deux nouveaux invariants indépendants; cela tient à ce que, dans ce cas particulier, n — 2 n’est pas le nombre des invariants indépendants de la forme, ce dernier nombre étant supérieur d’une unité à n — 2, c’est-à-dire o pour la forme linéaire et 1 pour la forme quadratique. Le nombre des autres invariants sera donc inférieur d’une unité à ce qu’il devrait être d’après la règle générale.

Les invariants d’une forme et de l’expression linéaire x\-*-yr ,- +-...( 101 )

peuvent être regardés comme des conlrevariants de la forme donnée, et, dans les formes binaires, les conlrevariants deviennent des covariants en changeant % et vj en / et - x. Une forme binaire n’a donc, indépendamment de ses invariants, que deux covariants indépendants; la forme elle-même pouvant être considérée comme étant l’un de ces covariants, on voit que tous les covariants peuvent s’exprimer en fonction de la forme, de ses invariants et d’un covariant; toutefois cette expression ne sera pas nécessairement rationnelle en général.

Nous allons maintenant passer en revue les invariants et covariants fondamentaux des systèmes les plus simples.

154 . Forme quadratique. — Nous avons déjà établi les points principaux de la théorie de la forme quadratique

Elle n’admet ( 89 ) qu’un seul invariant indépendant : c’est son discriminant ac — b\ Tout autre invariant sera une puissance de ac — b-. Nous avons fait voir aussi ( 124 ) que, d’après la loi de réciprocité de M. llermite, les formes de degré pair ont seules des invariants du second ordre dont la formule

symbolique est 12 . 8i l’on fait 7* = 1 dans la forme, elle re-

présentera géométriquement un système de deux points sur l’axe des x-, lorsque le discriminant se réduit à zéro, ces deux points coïncident.

De même, deux formes quadratiques

ont pour invariant 12' ou ad -+- a! c — zbb' (90). Si l’on admet, comme ci-dessus, que chaque forme représente deux points sur l'axe des x, la réduction à zéro de cet invariant exprimera que les quatre points sont en rapport harmonique , les deux points représentés par l’une des formes étant conjugués par rapport aux deux points représentés par l’autre forme.

Le covariant 12 ( 118) est

[ab' — ba')x ’ -I- [ad — ca') xy -l -{bd — b'c )y‘.

Son discriminant

( ac' — ca' ) î + 4(6«' — b' a) (bd — b'c),

est le résultant du système : il peut aussi s’écrire sous la forme

(ad +ca' — 266' )* — 4(<ic — b , )(a' c' — 6 ,J ).

Lorsque l’on a trois formes quadratiques

(a, b, c\x, y)\ (a ' , b' , c' [x, y)’, [a" , b“, c" {x, y) 1 , la réduction à zéro du déterminant - abc a' b' c' a" b" c "

exprime la condition nécessaire pour que les six points représentés par les trois formes soient en involution.