Forme cubique. — Passons maintenant à la forme cubique

(a, b, c, dix, y)\

Elle n’a qu’un invariant (89), c’est le discriminant a' d 1 -t- 4 ad -I- 4 db s — 3 b'c 1 — r 6abcd.

Le Hessien 12 est

( ac — b 7 ) x 7 -I - [ad — bc.)xy + [bd — c* ) y 7 , il peut aussi s’écrire comme déterminant

Il a le même discriminant que la forme elle-même (142). Si l’on désigne par a, p, y les trois racines, le Hessien est égal à

2[x — a) 3 (P — y )' J (104). Le covariant cubique 12 2 . i3 ou l’évectanl du discriminant est ( 109)

(a'-d - 4 - 26 -' — 3abc)x 1 - 4 - 3(6 3 c - 4 - abd — 2 ac 7 )x 7 y -+■ 3( 2 b 7 d — bc‘ — acd)xy 7 - 4 - ( 3 bcd — ad 7 — 1 c 7 ) y 7 .

Il peut être représenté géométriquement ainsi qu’il suit : si l’on prend les trois points représentés par la forme cubique primitive, et que l’on détermine pour chacun d’eux son conjugué harmonique par rapport aux deux autres, on obtient trois nouveaux points qui seront la représentation géométrique du covariant en question. Ce théorème s’obtient en remarquant que, si la forme primitive se réduit à xy[x - 4 -y), x —j sera un facteur du covariant, comme on le voit en faisant a — d = o, b — c — i. Mais x -4-j*, x — y sont conjugués harmoniques par rapport à x et y, et si l’on désigne par a, P, y, ô les distances à l’origine de quatre points sur l’axe des x, toute relation harmonique ou anharmonique entre eux,

s’exprimant par le rapport des produits (x — P) (y— 0 ) et (« — y)(P — ô), n’est pas altérée (103) par une transformation linéaire, qui revient à remplacer a par ^ + ^ ■ Par conséquent,

si de tels rapports, que n’altèrent pas les transformations linéaires, sont démontrés pour un cas, ils le sont en général. Les autres facteurs de l’évectant de xy[x - 4 - j) sont x - 4 - 2 y, xx - 4 - y, de sorte que l’on peut donner au résultat une forme symétrique d’après laquelle l’évectant Aü xyz [x, y, z étant

APPLICATIONS AliX FORMES BINAIRES.

liés par la relation x -i - y -i- z = o) sera

Ces considérations nous conduisent à l’expression des facteurs du covarianl en fonction des racines de la forme donnée; car, si â représente la distance à l’origine du point conjugué de a par rapport à [3 et y, résolvant par rapport à â l’équation

il vient

aj3 4- ay — a (3y “2 a-p — y •

et l’expression du covariant est

[(a«— P — y)* 4 (2py — ap — «y}/]

X[(a(3— « — y)a; + ( 2 ya — Py — p«)y]

X [(27 — a — P)x-H(2«p— ya — yP)y],

comme on peut le vérifier en effectuant la multiplication et les substitutions en fonction des coefficients de l’équation.

156. Si nous voulons établir une relation entre les covariants et invariants qui précèdent, nous ferons usage des formes canoniques qui sont pour U, ax a 4 dy 3 ; podr le discriminant D, a’d pour le Hessien H, adxy; pour le covarianl cubique J, ad[ax* — djr 3 ). Nous pouvons ainsi démontrer que le discriminant de J est le cube du discriminant de U, car, pour la forme canonique, il se réduit à a‘d e . Nous avons été conduits aussi, au n° 153, à prévoir que J n’est pas indépendant de H et de U, et nous pouvons en effet démontrer aisément, à l’aide de la forme canonique, la relation suivante, due à M. Cayley,