J’-DU’ = -4H
M. Cavley s’est servi de cette relation pour décomposer li en ses facteurs linéaires. En effet, puisque J‘ — DU' est un cube parfait, nous sommes conduits à conclure que les facteurs J ± U y/1) sont également des cubes parfaits, et, en effet.
IJO TREIZIÈME LEÇON.
pour la forme canonique, ces facteurs sont za’dx’ et lad'y*.
Maintenant, puisque x^a -t-y\/d est l’un des facteurs de la forme canonique, on voit immédiatement que le facteur général est proportionnel à
(U^D-t-JF + tU^D- J)*,
fonction linéaire qui s’évanouit évidemment quand on suppose U = o.
Exemple — Reprenons l’exemple du n° lit
nous avons
D = 1600, J = 1 iox 3 — — 63 o xy 1 — 670/ 3 ,
d’où
D/D + J=io( 3 x+j) 3 , U v^D — J = 5 o(x -f- 3 y) 3 , et les facteurs sont
157 . Système composé d'une forme cubique et d’une forme quadratique. — Soient
(a, b, c, d{x, y)\ (A, B, Cfx, yf
les deux formes. L’invariant le plus simple du système s’obtient en combinant la forme quadratique avec le Hessien de la forme cubique, et calculant ensuite leur invariant commun, on a
I = A (bd — c 3 ) — B [ud — bc) 4- C{ ac — b*).
Le résultant, calculé d’après la méthode du n° H ou d’après celle du n° 67 , est
R = a’C 3 — 6«6BC 3 4 6 acC(2B 3 — AC) 4- arf(6ABC — 8B 3 ) -+- 96’ AC 3 — 18 bc ABC -+- 6MA(2B 3 — AC)
- 4 - 9 c 3 A’C — GcrfBA 3 -l- d 2 A 3 .
On peut prendre I et R pour invariants fondamentaux du système : pour leur comparer les autres invariants, il sera com-
mode de faire A = o et C = o, ce qui revient à prendre pour x et y les deux facteurs de la forme quadratique; I se récfuit, dans ce cas, à R(6e — ad) et R à — 8B 3 aeL Le déterminant de Jacobi est
(A 6 — Bfl)Æ 5 + ( 2 Ac — B 6 — C a)x‘‘y — I— ( A </ -+- B<?. — 2 C 6 ).r/ J 4- (B</ — Cc)^ -3 ,
mais il y a, en outre, des covariants linéaires. En effet, si l’on remplace, dans la forme quadratique, les variables par des symboles différentiels et que l’on effectue sur la forme cubique l’opération indiquée, il vient
L,=:(aC — ibB + cA)x-h(bC — 2 cB 4- dA)y;
si l’on opère de même avec L, sur la forme quadratique, on a
L, = [aBC — 6(2 B 3 + AC) 4- 3c AB - dA 3 ]x 4 - [aC 3 — 36BC 4- c( AC 4 - 2 B') — </AB]/;
L, et L, exprimés en fonction des racines a, (3, y de la forme cubique et des racines a.', de la forme quadratique s’écrivent
2(a'— a)((3' — |3)(a? — y) et 2(«' — a)((3' — (3 )(«' — y)(a-— ,(3').
Le résultant de L, et L„ en faisant A = o et C = o, devient proportionnel à B- 6e. Par conséquent, si l’on désigne par A le discriminant AC — B’ de la forme quadratique, le résultant de L, et L, exprimé en fonction des deux invariants fondamentaux sera R 4 - 8AI.
Il existe d'autres covariants linéaires que l’on obtiendra en remplaçant, dans L, et L„ les coefficients a, b,. . . de la forme cubique par les coefficients correspondants de son covariant cubique ( 109).
Si l’on élimine les variables entre L, et la forme quadratique, on obtiendra le même résultat qu’en éliminant entre L, et L,; mais, si l’on élimine entre L, et la forme cubique, on aura un invariant distinct des précédents. En faisant A = o et C=:o, cet invariant sera B 3 (at J — </6 3 );il n’est pas réductible aux
fJ2 TREIZIÈME LEÇON.
précédents, mais son carré peut l’être sans peine. Le discriminant de la forme cubique étant
D = a 2 cl- 4 - 4 db 3 — 3 b 7 c' — 6abcd,
le carré de l’invariant que nous considérons, multiplié par 16 , sera
B e (D — a*d 2 4- 3b-c 2 4 -Gabcdy — 64B 6 a</6 3 e 3 ,
et nous n’avons plus qu’à remplacer B6e par I 4- Tiad, B 'ad par — g R, B’ par — A pour avoir l’expression en fonction des invariants fondamentaux.
158. Forme du quatrième degré. — Nous arrivons maintenant à la forme du quatrième degré qui, ainsi que nous l’avons vu (108), a deux invariants
S = ae-4W + 3c% T — ace 4- 2 bcd — ad 1 — eh' — c 3 .
Nous avons fait voir ( 147 ) qu’on peut la ramener à la forme canonique x* 4- 6mx , y 7 4- y*, pour laquelle les invariants sont S = 1 4 - 3m% T = m — m\ Si l’on exprime ces invariants en fonction symétrique des racines, on a
S = 2(«-p)’(y-ô)’, T=2(«-fî)’(y-d)’(a-y)(p-<î), ou mieux
Il est aisé de voir, sous cette dernière forme, que l’équation T = o représente la condition qui doit être remplie pour que les quatre points représentés par la forme soient en rapport harmonique. On a vu, en outre (14-6), que cette équation exprime la condition qui doit être remplie pour que la forme puisse être ramenée à une somme de deux quatrièmes puissances a-‘ 4 -/‘ (*), et que T peut s’écrire comme déter-
(*) M. Sylvesler appelle catalecticant Yinvariant qui exprime de même la condition à remplir pour qu’une forme du degré an soit réductible à la somme de n puissances.
APPLICATIONS Al'X FORMES BINAIRES. 1 73
minant
abc b c d • ■ c d e |
Si l’on désigne par M le module de la substitution, les invariants S et T deviennent, après la transformation (89), M'S, S J
M' T, et le rapport ^ reste complètement invariable.
159. Tout invariant d’une forme biquadratique peut s’exprimer en fonction rationnelle de S et T. En effet, puisqu’elle peut, par une substitution convenable, être réduite à la forme canonique x' 4 - y', ce qui ne modifie pas les invariants,
il suffit de prouver que le théorème est vrai pour cette forme. En premier lieu, nous remarquerons que tout invariant qui s’annule quand m = o, s’annulera également quand m sera égal à ±i. Car la forme x‘ -t-y' devient, en y remplaçant x et j par x -h y et x — y, x 1 -t- 6 x 3 y 3 ■+ -y', et, en y remplaçant x et y par x 4 - y\J — i et x — y\j — i , x' — &x , ‘y , ‘ -i- y' \ par conséquent, si un invariant admet m comme facteur, il doit être également divisible par m 3 — i; il le sera donc par m — m 3 , c’est-à-dire par T.
Prenons maintenant un invariant exprimé en fonction des coefficients de la forme générale a, b, c, d, e; s’il ne se réduit pas à zéro en y faisant b — o, c — o, çl = o, la partie qui ne disparaît pas doit être une puissance de ae ; en effet, elle doit être évidemment symétrique par rapport à « et e, et elle ne peut être de la forme a*4-e*, puisque le poids doit être le même pour chaque terme. Soit donc «‘e 1 la partie qui ne s’annule pas, et retranchons de l’invariant donné
(ae — 4 bd ■+■ 3 c’ )* ou S 4 ;
le reste se réduira évidemment à zéro quand on fera
ou, dans le cas de la forme canonique pour laquelle b ci d sont nuis, lorsque l’on fera m — o. D’après ce qui a été dit
174 TREIZIÉME I.EÇON.
plus haut, cette partie sera donc divisible par T, c’est-à-dire que l’invariant sera de la forme S* T9. Mais on prouvera de même que 9 est de la forme S*' -+- T <|i, et ainsi de suite, de sorte que l’on finira par avoir l’invariant donné en fonction rationnelle de S et de T.
160. Déterminons maintenant le discriminant en fonction de S et de T. On a déjà remarqué (79) que le discriminant d’une forme se réduit à zéro si les deux premiers coefficients sont nuis, puisque, dans ce cas, la forme devenant divisible par j 5 , admet un facteur carré. D’un autre côté, il est également vrai que tout invariant qui se réduit à zéro quand a et b sont nuis contient le discriminant comme facteur. En effet, cet invariant doit se réduire à zéro si la forme admet un facteur carré (x — a/) 1 , car on peut, par une transformation linéaire, faire en sorte que ce facteur soit pris pour / et, par suite, que les coefficients a et à soient nuis ; mais un invariant qui devient nul quand deux racines sont égales doit, lorsqu’on l’exprime en fonction des racines, contenir comme facteur la différence de deux racines quelconques, et, par suite, le discriminant lui-même.
Il est maintenant facile, connaissant S et T, d’en déduire un invariant qui se réduise à zéro en même temps que a et b. Car, dans cette hypothèse, S devient 3c 5 et T devient — c 3 ; par suite S 3 — 27 T 1 se réduit à zéro. Cet invariant est du sixième ordre par rapport aux coefficients, et c’est précisément l’ordre du discriminant (73). C’est donc le discriminant lui-même et non son produit par un autre invariant, et l’on a, pour la valeur cherchée,
[ae — 4 bd -h 3 c 1 y — 27 ( ace -4- 2 bcd — ad 2 — eb 2 — c 3 ) 1 .
On peut vérifier ce résultat de différentes manières, et notamment d’une manière très-simple en adoptant la forme canonique plus générale Ax* ■+■ B/* -t-C z\ dans laquelle nous supposons x -h z = o; dans ce cas, nous avons
et les deux invariants S et T deviennent
