S=BC + CA + AB, T = ABC

Le discriminant n’est autre que le résultant des deux dérivées Aj 1 - Cz 3 , B/ 3 — Cz 3 ; en les égalant à zéro, nous pouvons supposer x 3 , y 3 , z 3 proportionnels à BC, CA, AB; substituant dans l’équation

il vient d’où

V'BC 4- J/ CA + ^AB = o,

(BC 4 - CA 4- AB} 3 — 27 A 3 B ! C 3 = o,

et l’on obtient le discriminant sous la forme S 3 — 27 Ï 3 .

161. On peut déduire, de l’expression précédente du discriminant d’une forme biquadratique en fonction de S et T, la relation qui lie ( 156) les covariants d’une forme cubique.

Si nous multiplions deux formes, les invariants du produit seront des invariants du système formé par les deux formes; par conséquent, si nous multiplions une forme par x\ 4 - yn, les invariants du produit seront ( 101 ) des contrevariants de la forme primitive, et si nous changeons ensuite \ etrj en jet — x, nous aurons des covariants. Appliquons ce procédé à une forme cubique, les coefficients de la forme biquadratique qu’on en déduit sont

ay, ^(3 by—ax),

-( cy—bx ), j{dy— 3c*), — dx

et ses invariants S et T seront les covariants — H, —=] de la

forme cubique. Mais le discriminant du produit d’une forme quelconque U par x£-t -yn devient égal (78), en opérant ainsi, au discriminant de U multiplié par U 3 . Exprimant donc le discriminant de la forme biquadratique en fonction des invariants S et T, nous avons la relation entre H, J et le discriminant de la forme cubique.