Le Hessien de la forme biquadratique est l’évectant
de T, savoir
[ac — b 7 )x' -4- i(ad — bc)x'y -4- ( ae -+- 2 bd — 3 c’ J jc’v 1 -4- 2 [be — cd)xy 3 -+ [ce — d')y', qui se réduit pour la forme canonique à
ni(x‘ -4-^") H- ( 1 — Sm’jX’j’.
Si la forme admet un facteur carré x 7 , il se trouvera également dans le Hessien. Car (94) la seconde dérivée U s , renferme le facteur x', la dérivée U„ contient le facteur x au premier degré et, par suite, l’expression U,,U«— UJ 2 le renferme au second. Donc, si une forme biquadratique admet deux facteurs carrés, ils se retrouveront tous deux dans le Hessien qui, étant aussi du quatrième degré, ne pourra différer de la forme que par un facteur numérique. En effet, si la forme biquadratique admet deux facteurs carrés, en les prenant pour x‘ et y*, elle peut s’écrire ex- y 7 ; mais en faisant a= b = d — e = o dans l’expression du Hessien, elle se réduit à *— 3 c’x'y*.
Ainsi, en exprimant qu’une forme biquadratique ne diffère du Hessien que par un facteur numérique, nous aurons le système suivant de conditions nécessaires pour qu’elle admette deux facteurs carrés, savoir
ne — b 7 __ ad — be ae -4- a bd — 3c 7 be — cd ce — d‘
ce système n’équivaut qu’à deux conditions distinctes, ainsi qu’on peut le vérifier de différentes manières.
Nous avons, au n° 105, fait connaître d’autres méthodes pour établir ces conditions. L’une d'elles consiste à former le cova riant
1 ( a. — (3) [x — y ) (a — 3 ){j? — fiy(x — y) 1 [x — <5) J ,
dont tous les termes doivent se réduire à zéro si deux couples de racines deviennent identiques. Ce covariant, que nous appellerons J, est
(a 7 d -4- 2 b 3 — 3 abc, d'e -4- 2 abd — 9m;’ -4- 6i’c,
5 abe — 1 5 acd 4- 1 o b'.d,
10 b"-e — 10 ad 1 , — 5 ade -4- 15 bce — 10 bd 3 ,
— ae 7 — 2 bde -4- 9 c’e — 6cr/ s , 3 ede — id 3 — be 7 \x, y'f.
APPLICATIONS Alix FORMES BINAIRES. 177
Il n’est autre que le Jacobien (95) de la forme elle-même et de son Hessien ; il doit se réduire identiquement à zéro lorsque ces deux fonctions ne diffèrent que par un facteur, et les coefficients de J donnent, sous une autre forme, les conditions déjà obtenues ci-dessus. Nous avons vu aussi (105) que, dans le même cas, le covariant
se réduit à zéro. Mais ce covariant est égal à 3TU — 2 SH, et l’on peut aisément vérifier qu’il se réduit à zéro quand la forme primitive admet deux facteurs carrés; car, en faisant
U se réduit à 6 ex* y 3 , H à — 3 c 3 .r 3 j 3 , Ta — c 3 , S à 3c’, et l’on voit que, dans le système de conditions donné ci-dessus, la
valeur commune des fractions est — =■ •
163. On a vu (14-7) comment on ramène une forme biquadralique à sa forme canonique, problème qui renferme la solution de l’équation, puisque, une fois ramenée à la forme
ax ' -+- 6cx 3 y 1 -4- ey',
elle peut se résoudre comme une simple équation du second degré. La réduction pèut aussi s’effec tuer à l’aide des valeurs de S et T. Supposons les variables transformées par une substitution linéaire de module 1 , de telle sorte que les coefficients b cl d disparaissent dans la transformée; nous aurons S = ae + 3c 3 , T —ace — e 5 , et la nouvelle valeur de c sera donnée par l’équation 4 c 5 — Se 4- T = o. Nous déduirons les nouvelles variables x et/ qui entrent dans la forme canonique des équations
U = ax' 4 - 6cx 3 y 7 4- ey', H = aex * 4- (ae — 3c ! J# 3 / 3 4- ce) *, d’où
cU — H — (gc 3 — aejx'y 3 .
Notre méthode consiste donc à tirer la valeur de c de l’équation du troisième degré ci-dessus, puis à former, à l’aide de
l'tf TREIZIÈME LEÇON.
l'une des valeurs de c, l’expression cU — H qui devra être un carré parfait. Extrayant la racine et la décomposant en facteurs, nous aurons les nouvelles variables x et y, et par conséquent nous connaîtrons la transformation par le moyen de laquelle la forme proposée peut être ramenée à sa forme canonique ; l'ayant sous la forme ax' -t-ôcx’y 1 4-ey‘, nous pouvons évidemment, si nous le préférons, faire les coefficients de x* ety‘ égaux à l’unité, en écrivant x 5 et y 1 au lieu de x'\Ja et y'-^ë-
Exemple. — Résmulrc l'rr/iuiiion
x' 4- 8**y — 12 x : y 3 -+- io4xy 3 — 2 oy' = o.
Nous avons S= — 216, T = — -56, et notre équation du troisième degré est
4 r 1 4- 216c — 756 = o, qui admet 3 pour racine. Le Hessien est
fl = — 6x' 4- 60X 3 y 4- 72x I y I 4-24ay s — 636y‘
d'où
3U — H = 9 (.r 1 — 4 »\r — lîj-’r 1 4- 3axy 5 4- 64y‘)
= 9(x J — 2-rr — 8y s
Les variables de la forme canonique seront donc X = x 4- 2 r, Y = x — 4y,
d'où
et, substituant dans la forme primitive, on a pour la forme canonique 3X‘4-2X ! Y 5 — Y‘.
Les racines seront données par les équations
(x4- ay) y/3 = x — 4 y, (x4-ay) yj — 7 = x — 4.> -
10k M. Cayley a donné les racines de l’équation du quatrième degré sous une autre forme plus symétrique. Soient c,, Ci, c 3 celles de l’équaiioq du troisième degré du numéro précédent ; il a été démontré que H — c,U, II — C;U, H — c,U sont des carrés parfaits dont les racines sont du second degré en x et y. Mais l’expression
(c, — C 3 )^H — C, Ü 4- ( C 3 — C, ) y'U — Cl U 4- ( C, — C. ) y Fl — C, U
est aussi un carré parfait dont la racine est un facteur de lu forme biquadratique. Il suffit de prouver que cette quantité est un carré, car elle s’annule évidemment en même temps que U. Prenons la forme canonique en faisant, pour plus de simplicité, a = e^i. En résolvant l’équation
4 z 3 — 2(1 + 3c ! ) + c — c 3 = o, nous trouverons que ses trois racines sont
et les trois valeurs correspondantes de II — cU sont (1 — gc^x^y 3 , i (3c -4- i)(x 3 -hy 3 ) 3 , -(3c — i)(x 3 — .T 1 )’-
Maintenant, pour qu’une quantité de la forme a.xy + (3 (x* -+-/ 2 ) -+- y(x j — y 3 ) soit un carré parfait, il faut que l’on ait
condition qui se vérifie, puisque l’on a
Exemple. — En appliquant cette méthode à l’exemple qui précède, les autres valeurs de c sont
et les carrés des facteurs linéaires de la forme biquadratique se présentent ainsi
— a — axr — 8j 3 )
± ^( 1 — \J— 3) [(i+v/^3)x'M-(io — 2 /— 'i)xy— (a — 10 ^ — 3)r J j
± -( 1 +/— 3) [( 1 — v/— 3) x’-|- ( 1 o -f- a y/^3 ) xr — (a-t-lo/'-ï)/ 1 ].
ta.
lSo rREIZIÈME LEÇON.
165. il nous reste à distinguer dans quel cas la réduction à la forme canonique s’opère par une substitution réelle ou par une substitution imaginaire. Le discriminant de la forme canonique est ae(ae — 9 c 3 ) 2 , et, puisque son signe ne change pas par une transformation linéaire, nous voyons que, lorsqu’il sera positif, les coefficients a et e de la forme canonique seront de même signe, et que, quand il sera négatif, ces coefficients seront de signes contraires. Dans le premier cas, la forme
ux' -+- d ex- y' -+- ey*
se résout évidemment en deux facteurs de la forme
(x 3 ■+• Î.J' 1 ) (x 3 + uy*) ou (x'-' — X^ 3 )(x 3 — uy 3 ),
c'est-à-dire que les racines sont alors ou toutes imaginaires ou toutes réelles. Si, au contraire, a et e sont de signes différents, les deux facteurs sont de la forme
(x 3 4-X/ 3 )(x 3 — py-) f
et la forme biquadratique a deux racines réelles et deux racines imaginaires. Donc, quand le discriminant est négatif, c’est-à-dire quand S’ est moindre que 27 T 2 , deux des racines sont réelles et les deux autres imaginaires, et, quand il est positif, les quatre racines sont toutes réelles ou toutes imaginaires (*). Mais le discriminant de l’équation
est 27 T 3 — S J ; par suite (142), quand S 3 est moindre que 27 T’, l'équation en c admet une racine réelle et deux racines imaginaires, et la transformation ne peut s’effectuer que d'une seule
(*) Les signes des invariants ne permettent pas de distinguer le cas de quatre racines réelles de celui de quatre racines imaginaires; mais Tapplication du théorème de Sturm montre que (le discriminant étant positif) les deux quantités b 1 — ac et 3 « T *+■ ’i ( b : — ûc)S sont positives quand les racines sont toutes réelles, tandis que l’une ou l'autre de ces deux quantités est négative quand les quatre racines sont imaginaires (Cayley, Quarterty Journal, t. IV, p 10).
APPLICATIONS AUX FORMES BINAIRES. <8l
manière réelle, quand la forme biquadratique a deux racines réelles el deux imaginaires. Si a el e sont de même signe, cas dans lequel on peut prendre pour forme canonique
x' 4- 6mx 7 y 7 4- y 1 ,
on voit sans peine qu’on peut parvenir à cette forme par deux autres substitutions linéaires. En effet, en remplaçant x et y par x -h y et x — y, il vient
(i + 3 m)x' + 6(i — m)x 7 ) 7 + (i + im)y'i
remplaçant par x 4- jtV - 1 et x — y*J—\ .il vient de même
Ainsi quand la forme biquadratique a quatre racines rçelles ou quatre racines imaginaires, bien que l'on trouve pour c trois valeurs réelles, l’une d’elles correspond à des valeurs imaginaires de x et,?', et il n’existe que deux substitutions réelles.
On peut encore le voir ainsi qu’il suit. Supposons la forme biquadratique décomposée en deux facteurs réels du second degré (a, b, c\x, y) 7 , («', b’, c' 'x, y ) 7 , ces deux facteurs U et V peuvent, par une transformation simultanée, être ramenés à la forme AX ! 4- BY’, A'X’ 4- B'Y S , X J et Y 2 étant les valeurs de ÀU +V correspondantes aux deux valeurs de X données par l’équation (90)
( ac — b 7 ))? 4- ( ac' 4- ca! — ïW')^4-(«'c’ — b' 1 ) — o.
Pour que les valeurs de "k soient réelles, il faut que le résultant des deux fonctions du second degré
soit positif. Quand la forme biquadratique a quatre racines réelles, si a et (3 sont les deux plus grandes, a! et (3' les deux plus petites, ou bien encore, si l’on prend pour a el (3 les deux extrêmes, et pour a! et (3' les deux intermédiaires, on a pour X des valeurs réelles. Dans les autres cas, on a des valeurs imaginaires. Si l’une ou l’autre des deux expressions du
l8î TREIZIÈME LEÇON.
second degré a des racines imaginaires, leur résultant est positif et les valeurs de X réelles.
