Nous avons vii ( 162) que les formes biquadratiques ont

un autre covariant J dont la formule symbolique est ia.i3. 11 est du troisième degré par rapport aux coefficients, et du sixième par rapport aux variables; pour la forme canonique x ‘ -+- GmÆ’y’-f y', ce covariant se réduit à (i — gm , )xy(x ' — j 3 ): c’est le Jacobien de la forme primitive et de son Hessien. En général, en égalant à zéro le discriminant de U -+- XV, si U et V sont deux formes biquadratiques, on peut trouver six valeurs de X telles, que U -i- XV admette un facteur carré, et ces six facteurs, qui existent aussi dans les dérivées de U -i- XV, sont ceux du Jacobien. Quand V est le Hessien de U, on n’obtient plus que trois valeurs de X, telles que XU — H contienne deux facteurs carrés, ces valeurs de X étant données par l'équation

4 X 3 — XS-t-T = o.

Mais, comme plus haut, ces six facteurs seront ceux du Jacobien, c’est-à-dire que le covariant J a pour facteurs les valeurs x et y des trois formes canoniques. Ce résultat peut s’interpréter géométriquement ainsi qu’il suit. Les quatre points représentés par la forme déterminent trois systèmes en involution différents (l’un ou l’autre des trois points (3, y et d pouvant être pris pour le conjugué de a), et les foyers de ces trois systèmes sont déterminés par le covariant J.

Puisque, d’après le numéro 163, le carré du produit d’un couple de valeurs# et jde la forme canonique est déterminé par l’expression c,U— II, J 1 sera proportionnel à (c, U — H ) ( c,U — H ) (cj U — H ), ou, en se reportant à l’équation en c, à 4 H 3 - SHU’ + TU 3 .

En effectuant les calculs sur la forme canonique, on trouve que la valeur de l’expression ci-dessus est — J ! .