Puisque H est un covariant de U, on en conclut que
a et 3 désignant deux constantes, aU -4-6(3 H (*) sera un covariant de U dont les invariants seront aussi des invariants de U. Les valeurs de S et T et du discriminant R de cette forme sont
S (aü -l- 6(3H) = Sa' 1 -4- i8Ta(3 -4- 3S’(3’,
T(«U + 6(3H) =Ta‘ -4- S»a*'p -t-gSTaP* + ( 54 T= - S J )(3’,
R(aU + 6(3H) = R(a 3 — 9 Sa|3’ - 54 T (3 3 )’.
La dernière de ces trois valeurs est un carré parfait, parce que, comme nous l’avons fait remarquer, au lieu de six cas dans lesquels la fonction a U -4-6|3H admet un facteur carré, nous avons maintenant trois cas dans lesquels elle admet deux facteurs carrés.
M.Herrnite a remarqué qu’en appelant G la fonction de «, (3, a? — 9 Sa(3’ — 54 T les- valeurs données ci-dessus pour les invariants S et T de la forme a U -4- 6 (3 H sont le Hessien et le covariant cubique de G : le discriminant de G ne diffère de celui de U que par un facteur numérique.
Les covariants de la fonction aU -4- 6(3H sont aussi des eovariants de U. Son Hessien est
(oc( 3S-)- 9 (3’T)U -t- (a s — 3(3’S)H;
c’est le Jaeobien des deux expressions G et a U -+- 6(311 considérées comme fonction de a et (3. L’expression de J calculée pour aU-t-6(3H est la même que pour U, multipliée toutefois par le facteur numérique G. Le Hessien de J est
S’U 1 — 36TUH -1- 12SH 2 ;
c’est le résultant de «U -4- 6 (3 H et du Hessien de G. M.Caj'lev l’a mis sous la forme
1 8 TH \ * 1 a
(*) Le coefficient numérique 6 a pour but d’éviter les fractions dans les formule* suivantes.
qui montre qu’il se réduit à un carré parfait quand le discriminant de U est nul.
168. On peut remarquer ici que, d’après le principe du numéro 108, les théorèmes concernant les invariants et covariants d’une forme donnent en même temps des théorèmes concernant les covariants des formes d’un degré plus élevé. Ainsi, ayant démontré (167) que le Hessien du Hessien d’une forme biquadratique est de la forme aTU ■+■ [3SH, nous pouvons en déduire qu'il en est de même pour une forme quelconque ( voir aussi n“ 134, Exemple II). Car, si l’on forme le Hessien de l'expression u„u„ — u] Jt il renferme les deuxièmes, troisièmes et quatrièmes dérivées de «. Mais, au moyen des équations
on peut exprimer les dérivées des deuxième et troisième ordres en fonction de celles du quatrième, et écrire le Hessien sous la forme d’une fonction de ces dernières dérivées et des variables x et y que nous venons d’introduire et qui y figureront au quatrième degré. Ce sera donc un covariant de l’émanant du quatrième ordre. Mais tout covariant d’une forme biquadralique est une fonction de U et de H (153), et, quand il est du quatrième degré, cette fonction est linéaire. Ce covariant sera donc de la forme aTU -+- (3S1I, S et T étant des invariants de l’émanant du quatrième ordre et, comme au numéro 108, des covariants des formes de degrés supérieurs.
APPLICATIONS AUX FORMES BINAIRES (5 e ET 6' DEGRÉ).
169. Dans l’étude des formes du cinquième degré, nous ferons constamment usage de la forme canonique
ax i -4- by % -t- ci 5 ,
à laquelle, ainsi que nous l’avons démontré (143), la forme générale peut toujours être ramenée (la somme x -+-/ -t- z est supposée égale à zéro).
Il existe deux covariants Au second ordre par rapport aux
coefficients, savoir : le Hessien 12 , dont l’expression pour la forme canonique est
bcy- z 2 -t- caz 2 x 2 -t- abx 2 y 2 ,
et un covariant quadratique 12 (l’invariant S de 1 émanant du quatrième ordre), dont l’expression est, dans le même cas,
bcyz -t- cnzx -+- abxy.
Pour la forme générale (a, b, c, </, e, f s x, y)', ces covariants sont
II = (ae — b 2 ) x 6 -t- 3 ( ad — bc)x l y -t- 3 (ae -t- bd — ic 1 )x K y 1 ■+■ (af -4- 7 be — $cd)x 2 y 2 -f- 3 (bf -h ce — id 2 )x 2 ) '
■+* ${cf — de)xy 2 -t- ( df— e- )y\
S. = (ae — 4 bd-t- 3 c')x 2 (af — 3be -+- 2 cd)xy + (bf — 4 ce ■+- 3d 2 )y 7 .
On obtiendra, à un facteur numérique près, l’invariant J le plus simple de la forme proposée, soit en calculant l’invariant
quadratique 12 de II, soit en calculant le discriminant de S, et l’on aura
J •= a'f' — 10 abef -4- 4 acdf - 4 - 16 ace' — i 2 ad' e + 16 b'df
-4- gfc’e 1 — 12 bc'f — ifibcde -+- 48 bd 3 ■+■ 48 c 3 e — 3a t :'d',
expression qui, pour la forme canonique, se réduit à
b-c 1 -+- c' a' -4- a' b 2 — 2 abc (a -4- b -4- c).
170 . Le discriminant peut s’obtenir en éliminant les variables entre les deux dérivées ax' — ci', by' — cz' de la forme canonique. Lorsqu’on les suppose toutes deux égales à zéro, on peut prendre abc pour la valeur commune de ax', by' et cz', d’où
x — \jbc, y—*<Jca, z=\Jab.
Substituant dans l’équation x -b y - 4 - z — o, on obtient le discriminant sous la forme
ou
y/ bc -I- k \J ca -4- !/ab = o,
[b'c' -4- c’a 1 -4- a 1 b- — 2 abc (a -4- b - 4 - c) ]' J
— 128 a'b'c'(bc -4- ca -4- ab) — o,
ce qui revient à J 1 — 128K, J étant l’invariant obtenu précédemment et K l’invariant du huitième ordre, dont l’expression pour la forme canonique se réduit à
a 1 b 1 c 1 ( bc ■+■ ca -4- ab ).
On peut encore définir ce nouvel invariant ainsi qu’il suit. Nous avons donné ( 443 , 144 ) l’expression du covarianl du troisième degré, dont les racines sont les variables x, y et z de la forme canonique; l’expression de ce covarianl, qui n’est autre que l’invariant T de l’émanant du quatrième ordre, est, pour la forme générale,
T = [ace — ad 1 — eb - -4- 2 bcd — c')x'
• 4 - ( acf — ade — b'f -1- bce - 4 - bd' — c'd)x'y ■+■ ( adf — ae ' — bcf -t~ bde -4 - c' e — cd')xy 1 -1- (bdf — be' — c 4 / -4- 2 cde — d')y 3 ;
elle se réduit, pour la forme canonique, à abcxyz. Si l’on y substitue, comme d’habitude, des symboles différentiels à' la place des variables, et que l’on opère avec le carré de T sur le covariant H, on obtiendra l’invariant K, ainsi qu’on peut le vérifier sans peine sur la forme canonique. On peut encore le trouver en cherchant, comme au n° 157, l’invariant commun I des deux covariants S et T.
171. Les formes du cinquième degré ont, en outre, un invariant L du douzième ordre qui peut être défini simplement comme le discriminant de T. Pour la forme canonique T se réduisant à abcxyz, L est égal à — a'b'c 1 . L’invariant L se réduit à zéro si les trois coefficients b, c, d sont tous nuis. Par conséquent la forme ax i 4-5 exy' +fy i , à laquelle M. Jerrard a montré que l’on peut ramener la forme générale par une substitution non linéaire, ne peut être obtenue par une substitution linéaire que dans le cas où L = o.
172. Nous prendrons J, K et L pour invariants fondamentaux de la forme du cinquième degré, et nous allons montrer comment tous les autres invariants peuvent s’exprimer en fonction de J, K, L. En premier lieu, il faut remarquer que la permutation de x et / ou de a: et z équivaut à une transformation linéaire au module — i. Par conséquent, si un invariant est tel, qu’après la transformation il se trouve multiplié par une puissance paire du module, il doit, pour la forme canonique, rester invariable si l’on permute a, b et c, c’est-à-dire qu’il doit être une fonction symétrique de ces trois quantités. Si l’invariant est multiplié par une puissance impaire du module, il doit, pour la forme canonique, changer de signe lorsque l’on permute deux des quantités a, b, c : il doit donc être un produit des différences (a — b)(b — c)(c — a) par une fonction symétrique de a, b, c. En outre, remarquons que, dans la transformation, l’invariant se trouve multiplié par une puissance du module dont l’exposant est égal à son poids, soit
à -n (110) pour un invariant d’ordre n d’une forme du cinquième degré : cette forme ne peut avoir d’invariant d’ordre
impair; si l’ordre n est un multiple de 4> 1° poids sera un nombre pair et le signe de l'invariant ne changera pas par la permutation de x et de y; si, au contraire, l’ordre de l’invariant n’est pas divisible par 4. l’invariant sera gauche, c’est-à-dire changera de signe quand on permutera x et y. Examinons d’abord les invariants de la première espèce qui doivent, ainsi que nous venons de le voir, être, pour la forme canonique, des fonctions symétriques de a, b, c. On a
J = (bc +'ca -4- etby — 4 abc [a -l - é -4- c),
K = a' b' c' [bc -4 - ca -I - ab),
équations dont on déduit
M = ^ (K ! — JL) = a’b'c' (a -4- b -f- c) ( *).
Il suit de là que, si l’on réduit une forme du cinquième degré à sa forme canonique par une substitution dont le module soit égal à l’unité, les nouvelles valeurs de a, b, c seront les racines de l’équation du troisième degré
L’ordre d’une fonction symétrique de a, b, c étant égal à son poids par rapport aux coefficients de cette équation, et ce poids étant un multiple de 4. il est facile de voir que la fonction en question sera une fonction rationnelle de J, K, L.
Étant donc donné un invariant dont l’ordre est un multiple de 4. nous venons de prouver que l’on peut écrire une fonction rationnelle de J, K, L qui, pour la forme canonique, aura la même valeur que cet invariant, et qui, par suite, sera
(*) Le lecteur remarquera que, bien que dans le cas de la forme canonique a* b' c'(« -h b -f- c) soit divisible par a i b i c\ on n’est cependant pas en droit d’en conclure qu’en général M soit divisible par L, excepté dans les cas où il aurait été prouvé que le quotient abc {a -+- b -f- c) est également un invariant.
toujours identique avec lui. Et, puisqu’il serait manifestement absurde de supposer une fonction entière des coefficients égale à une fraction irréductible, il suit de là que tout invariant non gauche est une fonction entière de J, K, L. Si l’on fait a, b , c égaux à zéro, J, K et L s’annulent ; par conséquent, lorsque trois racines de la forme sont égales, ces invariants se réduisent à zéro (*). Si l’on fait a, b, e,f égaux à zéro, J se réduità — 32 c’d 2 , Là — iôc'tf", et, par suite, J 3 — 2048L se réduit à zéro. Les formes du cinquième degré qui ont deux couples de racines égales doivent donc avoir non-seulement leur discriminant égal à zéro, mais en outre J 3 égal à 2048 L.
173. L’invariant gauche le plus simple s’obtient en calculant le résultant de la forme ax % -+- by i -+- cz h et de son covariant canonique T = abcxyz. Substituant successivement les trois racines de ce dernier dans la forme et multipliant, il vient
I = aï b' & [b — c)[c — a)[a — b);
cet invariant est donc du dix-huitième ordre. Avant sa découverte parM. Hermite (**), on n’avait pas reconnu la possibilité de l’existence d’invariants de cette espèce.
On prouvera comme dans le dernier numéro que tout invariant gauche de la forme du cinquième degré doit être le produit de cet invariant I par une fonction rationnelle de J, K, L.
(*} En général tous les invariants d'une forme s'annulent si plus delà moitié de ses racines deviennent égales; car on voit sans peine que si la moitié des coefficients en partant d'une extrémité s’annulent, il devient impossible de composer avec ceux qui subsistent aucun terme du poids convenable (110).
(**) Voir Cambridge and Dublin Mat hématie al Journal^ t. IX, p. 17a. M. Hermite opère avec une nouvelle forme canonique, dont les variables .r et y sont les deux facteurs du covariant quadratique. La forme est donc supposée telle, que les deux expressions ae — :\bd 3c*, bf — l\ ce -t- 3 d x soient milles, et le covariant quadratique se réduit à xy. L’avantage de cette méthode consiste en
ce que le symbole qui en dérive est simplement — — — t et que quelques-uns des covariants que l'on obtient ainsi prennent une forme très-simple.
La valeur de I a été calculée par M. Salmon (voir Philosophical Transactions f 1 858, p. 455); mais le développement renfermant près de 900 termes ne pourrait trouver place ici.
ig° QUATORZIÈME LEÇON.
