Le carré de I, étant du trente-sixième ordre, doit

s’exprimer rationnellement en fonction de J, K, L ( 172). Son expression est facile à trouver.

En formant le discriminant de l’équation du troisième degré du numéro 172,

nous aurons le produit des carrés des différences de a, b, c en-

fonction de J, K, L, et il vient

1 J L = M’K ! + 18 MKL’ — 27 V — 4 K 3 L 3 — 4M 3 ,

ou, remplaçant M par sa valeur

i 6 I’ = JK* -+- 8 LK 3 — aJ’LK 3 — 72 JKL 3 — 43-a L 3 4- J 3 L 3 .

17a. Nous n’entrerons pas dans d’autres détails concernant les covarianls (*-) d’une forme du cinquième degré. Les plus remarquables, après ceux que nous avons déjà mentionnés, sont les covarianls linéaires. Si l’on opère deux fois avec le covariant quadratique beyz 4 - cazx -t- abxy sur la forme du cinquième degré elle-même, le résultat sera évidemment du premier degré, et pour la forme canonique se réduira à

abc ( bcx 4- cay 4- abz ).

En effectuant l’élimination entre ce covariant linéaire et le covariant canonique T, on obtient l’invariant I, et, en éliminant entre le covariant linéaire et la forme du cinquième degré, on a I(J 3 — 3 K). Ainsi, lorsque l’invariant 1 se réduit à zéro, l’équation du cinquième degré se résout immédiatement, l’une des racines étant donnée par le covariant linéaire; il eu est de même quand J 3 = 3 K.

En opérant avec le covariant linéaire sur le covariant qua-

(*) Les valeurs de quelques-uns des plus simples ont été données par M. Cayley ( Philosophical Transactions , t. CXLY1, p. 125).

APPLICATIONS AUX FORMES BINAIRES. iqi

dratique, on obtient un autre covariant linéaire du septième ordre

abc[x[a 7 c 7 — a 7 b 1 + ab 7 c — abc 1 )