z [b 7 c 7 — c 7 a 7 -h a 7 bc — ab 7 c

Nous avons déjà démontré que l’on peut exprimer tous les covariants en fonction de deux d’entre eux et des invariants. M. Hermite effectue la transformation en prenant pour x et y les deux covariants linéaires, et alors les coefficients de la transformée du cinquième degré sont tous des invariants. Leurs valeurs ne sont cependant pas simples, et la réduction à cette forme ne serait pas possible dans le cas particulier où les deux covariants seraient identiques, ce qui arrive lorsque leur résultant JK 4- 9L est nul. En formant le Jacobien du covariant quadratique et d’un autre covariant quelconque, nous aurons un covariant du même degré que ce dernier par rapport aux variables, et d'un degré plus*élevé de deux unités par rapport aux coefficients. Ainsi l’on déduit, par ce moyen, du covariant canonique un autre covariant du troisième degré

abc[bc(y 7 z — yz 7 ) 4- ca[z 7 x — zx 7 ) 4- ab(x 7 y — xy 1 )],

que l’on pourrait aussi former en opérant avec le covariant canonique sur le Hessien. Les formes du cinquième degré ayant des covariants linéaires de tous les ordres impairs audessus du troisième, il résulte du principe de réciprocité que toutes les formes de degré impair au-dessus du troisième ont des covariants linéaires du cinquième ordre par rapport aux coefficients.

176. On sait que le signe du discriminant d’une forme permet de reconnaître immédiatement si elle a un nombre pair ou impair de couples- de racines imaginaires; supposons, en effet, la forme décomposée en facteurs réels du deuxième degré, son discriminant (78) sera égal au produit des discriminants de ces facteurs multipliés par le carré du produit des résultants de chaque couple de facteurs. Ces résultants sont tous réels et leurs carrés positifs; par conséquent, nous n’a-

vons à nous occuper, en ce qui concerne le signe du discriminant, que des discriminants des facteurs du deuxième degré. Mais le carré de la différence des deux racines d’une équation du deuxième degré est positif quand les racines sont réelles, et négatif quand elles sont imaginaires : il en résulte donc que le produit des carrés des différences des racines d’une équation quelconque est positif quand elle admet un nombre pair de couples de racines imaginaires, et négatif lorsque ce nombre est impair. Nous sommes convenus d’écrire le discriminant en donnant le signe -+- au produit des deux termes extrêmes : il aura le même signe que le produit des carrés des différences des racines quand la forme sera de degré 4 m ou 4 ni +i, et un signe contraire quand elle sera de degré ^m + 2 ou \m-y-Z. Nous voyons donc que, dans le cas d’une forme du cinquième degré, si le discriminant est positif, il y aura quatre racines imaginaires, ou il n’y en aura aucune, et si le discriminant est négatif, il y en aura deux. Il nous reste maintenant à distinguer les cas dans lesquels toutes les racines sont réelles et ceux dans lesquels il n’en existe qu’une.

177. Pour arriver à faire celte distinction, on peut procéder de différentes manières. Les criteria fournis par le théorème de Sturm sont les suivants sous la forme la plus simple (*). Soit J l’invariant du quatrième ordre et N, P, Q, R les fonctions suivantes :

N = b 7 - ac,

P = ae — l\bd Z c 7 ,

Q = ace -|- a bed — ad 7 — eb 7 — t J ,

R — a 7 e' — a 7 df + Zabcf — 3 abde 4- 4 acd 7 — { ac- e — 2 b 3 f -t- 5 b 7 ce -+■ 2 b 7 d‘ — 8 bc ! d -+- 3c'.

(*) Ces valeurs ont été données par > 1 . Roberts ( Quarterlr Journal , t. IV, p. 170}. Le lecteur qui aura à sa disposition les Tables des fonctions de Sturm calculées par M. Cayley {Philosophical Transactions, t. CVLVI 1 , p. 7 devra prendre garde aux erreurs «le signes qui existent dans l'expression des quatrième et cinquième fonctions.

APPLICATIONS AUX FORMES BINAIRES. I <j3

Les premiers termes des fonctions de Sturm sont proportionnels à

a, a, N, 5NP -+- gaQ, — NJ -+- 12PR + 4 P 3 — 216 Q-,

la dernière de ces quantités étant évidemment le discriminant; et les conditions fournies par le théorème de Sturm pour distinguer le cas où il j a quatre racines imaginaires de celui où 1^ n’y en a aucune, consistent en ce que, lorsque toutes les racines sont réelles, les quantités

N, 5NP -+- 9 aQ, — NJ 1 2 PR -4- 4 P’ — 2 16 Q 1 doivent être positives, de même que le discriminant.

178. En pratique, les crileria (*) fournis parle théorème de Sturm sont les plus convenables, parce que les fonctions à calculer sont d’un degré moins élevé. Il était cependant désirable, au point de vue théorique, d’avoir également des criteria exprimés en fonction des invariants; MM. llermite et Sylvestery sont parvenus par des méthodes différentes.

La condition obtenue par M. llermite, à l’aide d’une méthode purement analytique, consiste en ce que toutes les racines sont réelles lorsque, le discriminant étant positif, les trois quantités

K, 2"L- J 3 - 4- JI), K( JL -(- K') — i8L J sont également positives.

M. Sylvester, par des considérations géométriques très-ingénieuses, est parvenu à un résultat un peu différent, les con-

(*) 11 faut remarquer qu’il est facile de poser une foule de criteria pouvant indiquer l’existence de racines imaginaires; car toute fonction symétrique des carrés des différences des racines doit être positive si toutes les racines sont réelles. On peut sans difficulté écrire des fonctions de celte espèce qui soient également des invariants et qui, lorsqu’elles deviennent négatives, indiquent que l’équation a des racines imaginaires. Mais elles peuvent être également positives quand il y a des racines imaginaires, et le problème consiste à trouver un système de conditions telles, que l’une d'elles doive nécessairement ne pas être satisfaite lorsque toutes les racines ne sont pas réelles.

ditions de réalité consistant en ce que toutes les racines sont réelles lorsque la quantité L est négative et la quantité

positive (ce qui suppose également J 'négatif). Mais il résulte également de la théorie de M. Sylvester ce fait très-remarquable que l’on peut substituer comme critérium à 2" L — J 3 l’expression

a"L — J 3 -1- 12 JD,

u étant un coefficient indéterminé, pourvu que ce coefficient soit compris entre -+- 1 et — 2. Ce résultat permet d’obtenir des crileria exprimés en fonctions symétriques des racines, et de remplacer, par exemple, la fonction

par la fonction symétrique

2(«— PJM? — y Y (y — «)’ (* — «)*(«— ?)*(« — y Y x(<5 — *)'($— (3)’(ô — y)',

dont la valeur est proportionnelle à

2" L — J 3 -+- f JD.

179. Forme du sixième degré. — La théorie des formes du sixième degré n’a encore été que peu étudiée. Elles ont quatre invariants indépendants, que nous appellerons A, B, C, D, et qui sont des deuxième, quatrième, sixième et dixième ordres : elles ont aussi un cinquième invariant gauche E du quinzième ordre, dont le carré est une fonction rationnelle et entière des

quatre autres. L’invariant A , dont l’expression symbolique

est 12 , s’obtient par la méthode du n° 107, et l’on a

A — ng — 6 bf + 1 5 ce — 10 d 7 .

Le Hessien 12 est du huitième degré, et son expression

ig5

est

H = [ac — b 2 )x‘ -H ^(ad — bc)x'y- f- (ti«e - 4-4 bd — ioc' , )x , y' - 4 - (4«/-4- i ùbe — 2 ocd)x i y 3 - 4 - - 4 - t^bf - 4 - 5 ce — 20 d‘)x'y' - 4 - . . . ( *).

11 existe un autre covariant du second ordre par rapport aux coefficients, et du quatrième degré par rapport aux variables: c’est l’invariant S de l’émanant du quatrième ordre

S = ( ae — \bd+ 3c’).r* - 4 - ( iaf — 6be - 4 - 4 cd)x 2 y - 4 - (ag — 9 ce - 4 - ü d 2 } x 2 y~ 2 . . . .

Nous pouvons y ajouter un covariant du sixième degré, du troisième ordre par rapport aux coefficients, et qui est l’invariant T de l’émanant du quatrième ordre :

T = ( ace - 4 - 2 bcd — ad 2 — eb 2 — c 2 )x l

- 4 - (a acf — iade — 1 b’f -4- 2 bce - 4 - 2 bd' — ic , d)x t y ■+-(acg-\- o.adf — Zae 2 — b 2 g — ’ibcf

- 4 - 4 bde - 4 - 2c’e — 3 cd 2 )x‘y 2 - 4 - ( 2 ad g — aaef — abcg -4- 4 bdf — 26e 1

— 2 c 2 f - 4 - 6 cde — 4 d 2 )x 2 y 2 .-4-. . . .

Nous prendrons, pour l’invariant B, celui que \I. Sylvester a appelé catalecticant , et dont la réduction à zéro exprime la condition qui doit être remplie pour que la forme soit réductible à la somme de trois sixièmes puissances; c’est le déterminant

(*) U est inutile d’ajouter ici les termes que la symétrie permet de poser immédiatement.

196 QUATORZIÈME LEÇOS.

ou, en développant,

B = aceg — nef ’ — ad* g-\- i adef — ae s — b' eg 4 - b'f 2 4- xbcdg — 2 bcef — ibd'f 4- 2 bde 1 — e 3 #-)- ic'df 4- c* e' — 3 cd 1 e 4 - d‘.

Si l’on forme l’invariant quadratique de H, le résultat est proportionnel à A’ 4 - 3ooB; si l’on forme celui du covarianl S, on obtient A 1 — 36B; enfin, si l’on opère avec le covarianl T sur la forme primitive, on retrouve l’invariant B.

180. Les fonctions précédentes peuvent s’exprimer sous une forme très-symétrique en adoptant la forme canonique au“ 4- bv* 4- cw • 4- dz‘, dans laquelle u, v, w, z désignent des fonctions linéaires xx 4- a! y, px 4- fi 1 y, yx 4- y' y, dx 4- d'y des variables x et y(*). On trouve sans peine que l’invariant A devient, dans celle hypothèse, en désignant par («3), (ay), . . les déterminants a{3' — j 3a', xy — yx', ...

A =a&( a (3 )* 4- ac(ay )" 4 - ad( xd )*4- bc{ (3 y )* 4 -bd( |3ô) s -+- cd{ yd )*, ou sous une forme abrégée

A = I,nb(xfiYi

on a de môme, pour l’invariant B,

B = obed (a(3)’( xy )’ ( xd )* ( |3y )’ ( $d f ( y b )»,

et, sous cette forme, on voit immédiatement que B devient nul lorsque l’une des quantités», b, c, d est nulle, ou lorsque deux des quatre fonctions it, v, w, z deviennent identiques. Les expressions des covariants II, S et T sont

11 = 1ab{x$y u'v*,

S = 2ab(afiy u'v*,

T = ï.abc[xfiy(ay ) , ((3y) 1 ii’e’iv’.

(•) £ette forme, proposée par M. Salmon, est plus générale que celle du n° 1 49 et serait probablement tout aussi avantageuse pour la discussion de la forme du sixième degré.

applications aux formes binaires. 197

181 . Nous prendrons, pour l’invariant fondamental du sixième ordre C, celui qui ne renferme pas de puissance du premier coefficient a supérieure à la seconde :

C — a 2 d 2 g 2 — 6 a. 2 defg -t- 4 a 2 df 2 4 - 4 a 2 e 2 g — 3 a 2 e 2 f 2

— 6 abcdg 2 4- r8 abcefg — 1 2 abcf 2 ■+■ 1 2 abd'fg

— 18 abde 2 g-\- 6 abe 2 f -1- 4 ac 2 g 2 — 24 ac 2 e 2 g — 1 Bac'dfg

4 - 3 o ac 2 ef 2 4 - 54 acd 2 e g — .12 acd'f 2 — 4 2acde 2 f

4 - 1 2 ace' — 20 ad' g 4- 24 ad 2 ef — 8 ad 2 e 2 4 - 4 b 2 dg 2

— 12 b 2 efg 4 - 8 b 2 f * — 3 b 2 c 2 g 2 -h 3 o b 2 ce 2 g — 24 b 2 ce f 2

— 11b 2 d 2 eg — 24 b 2 d 2 f 2 - 4 - 60 b 2 de 2 f — 27 b 2 e' -1- 6 bc 2 fg

— 4 2 de g Gobe 2 df 2 — 3 o bc 2 e 2 f 4 - 24 bed 2 g

— 84 bed 2 ef 4 - 66 bcde 2 4 - 24 bd' f — 24 bd 2 e 2 4 - 1 2 c'eg

— 27 c'f 2 — 8 c 2 d 2 g 4 - 66 c 2 def — 8c 3 e 3 — 24 c 2 d 2 f

— 3 g c 2 d 2 e 2 4- 3 6 cd'e — Srf".

Les autres invariants du sixième ordre peuvent s’exprimer en fonction des précédents. Ainsi, l’invariant du troisième ordre de S est

A 3 — 108 AB — 54 C ; l’invariant du troisième ordre de H est

3 A 3 — 100 AB 4-,275oC, et l’invariant du deuxième ordre de T est