AB — C

182 . Si a, b cl c sont tous trois nuis, les invariants A, B, C se réduisent à — iorf', d', — 8 d‘; par conséquent, lorsque la forme admet un facteur triple, on doit avoir

A’= 100B, 4 AB= 5 C, AC = 8oB 3 .

Si a, b, f, g sont nuis, les invariants deviennent

i 5 ce — 10 d 2 , c 2 e 2 — 3 cde 4- (/*,

— Sc'e 2 — 3 ç)C 2 d 2 e 2 4- 3 6 cd'e — 8 d',

)p8 quatorzième leçon.

par suite, lorsque la forme admet deux facteurs carrés, on

doit avoir, indépendamment de la condition fournie par le

discriminant,

(A 3 — 3oo AB ■+■ 25 oC) j = 5( A 2 — 100 B) 3 .

183. Le discriminant À est du dixième ordre. Si nous faisons b,d,f égaux à zéro, il se réduit à ag multiplié parle carré du discriminant de la fonction [a, 5c, 5e, g ! x x,yf\ si tous les coefficients sont nuis sauf a, d, g, le discriminant se réduit à a'g 1 multiplié par le cube du discriminant de la fonction (a, tod, g\x,yY- Connaissant ces termes, le reste du discriminant peut se calculer à l’aide de l’équation différentielle.

Nous pouvons encore adopter pour invariant du dixième ordre, au lieu du discriminant A, un autre invariant D, dans lequel les coefficients a et g ne figurent qu’à la quatrième puissance, et qui ne contient pas le produit a' g'. La quantité qui multiplie a ‘ est ( eg—f'Y, et la relation qui lie A et D est

Le développement complet de D et de A est trop long pour pouvoir trouver place ici.

181. La théorie de M. Cayley sur le nombre des invariants fait voir qu’indépendamment des quatre invariants ci-dessus, il existe encore un invariant gauche E du quinzième ordre. Nous ignorons si, de même que l’invariant 1 de la forme du cinquième degré est le résultant de deux covariants, E peut se déduire de deux covariants de la forme du sixième. On peut le calculer à l’aide de l’équation différentielle. La puissance de a la plus élevée qu’il renferme est n*, et le facteur qui multiplie a 6 est

( dg * — 3 efg + 2 /’} { eg—f '■ )’(*).

L’expression de E en fonction des autres invariants peut s’ob-

(*) Le développement de E, qui contient près de 1400 termes, a été calculé par M. Salmon ( Lestons of Highcr Algebra , 2 e édition, p. 253-365).

tenir à l’aide des considérations suivantes. Si les coefficients b, d, f sont nuis, E l’est nécessairement aussi. Car, le poids de E étant 4 $ ( 110 ), celui de quelque facteur de chaque terme doit être impair, et, quand nous supposons nuis tous les coefficients dont le poids est impair, E doit s’annuler. La condition E = o exprime donc que les racines de l’équation du sixième degré forment un système en involution. Par conséquent, si nous supposons b, d, f égaux à zéro dans les expressions de A, B, C, D, et si nous éliminons a, c, e, g, la relation que nous obtiendrons entre A, B, C, I) sera satisfaite quand E sera nul et le renfermera comme facteur.

Faisons ag= 1 , ce = g, ae' -t- gc* = v, les valeurs des invariants deviennent, en y supposant b, d, f nuis,

B = lu. -t- a 1 — v,

C = — 24 Xp. 5 — 8 jn s -l- 4 ( X + 3 g ) v,

A = X(X* — i 5 o Xi/ — i 8-5 /a* -t- 5 oov) ï .

Éliminant d’abord v, les deux dernières équations deviennent

A = X ( X’ - 4 - 35 o Xu — 1 3^5 u’ — 5 oo B )'.

Éliminant ensuite g à l’aide de la première équation, il vient

-+- 2700 AB — 4 A* = o,

X ( 256 X» — 320 A X -t- 55 A* -t- 45 oo B ) 1 — 81 A = o.

Le résultant de ces deux équations sera du trentième degré par rapport aux coefficients, et, d’après ce que nous avons dit plus haut, ne pourra différer que par un facteur numérique de E ! .

185. Nous consacrerons cetle Leçon à la théorie des formes ternaires quadratiques et cubiques; nous ferons connaître leurs invariants et covariants les plus remarquables, et nous donnerons en même temps quelques exemples de leurs nombreuses applications à la théorie des courbes planes.

Forme quadratique. — La forme quadratique ternaire U = (a, c, f, g, h\x, y, z )> n’a qu’un seul invariant, qui est le discriminant { 101 )

A = abc -+■ 2 fgh — af' — b g 1 — ch 1 ; elle n’a également qu’un conlrevarianl : c’est l’évectant de A G — (bc — /’, ca — g\ ab — h\ gh— af, lif— bg,fg— ch f, r„ Ç)’.

Les expressions de A et G peuvent se mettre sous la forme de déterminants :

cr

Si l’on y remplace les coefficients a, b,c ,. . . par les secondes dérivées d'une forme d’un degré supérieur au second, A sera le Hessien (127) et G un covariant mixte auquel, en raison de la forme du déterminant, on donne quelquefois le nom de Hessien bordé (128).

186. Lorsque le discriminant A est nul, l’équation U = o représente deux lignes droites et les coordonnées x ' , y', z' de leur point d’intersection s’obtiennent (102) en identifiant G avec le carré de la fonction x'!- -4- y-n -+- z'Ç. L’équation G = o exprime la condition à laquelle doivent satisfaire (98) les coordonnées 2-, rj, £ d’une droite x% -hyn -+- zÇ pour que celte droite sort tangente à la section conique représentée par l’équation U = o. Il est facile de s’en assurer en éliminant l’une des variables et exprimant que l’équation résultante a ses racines égales; on obtient ainsi la condition G = o, qui peut être appelée l’équation tangentielle de la section conique.

Si l’on désigne par a„ b„ c„ f, g lt /i, les coefficients de G et que l’on calcule son conlrevariant

qui doit être un covariant de la forme U, on trouve qu’il se réduit simplement à AU : la relation entre les fonctions G et U est donc réciproque, c’est-à-dire que, abstraction faite du facteur A r U peut se déduire de G de la même manière que- G se déduit de U.

187. Considérons maintenant deux formes U et U'; nous aurons une série d’invariants du système en développant par la méthode du n° 90 le discriminant D de U -f- XU'. On obtient ainsi