D = A -+- X0 + X>0' + VA

A, A' étant les discriminants de U et U', et 0, 0' deux nouveaux invariants communs à U et U', dont les valeurs sont

,dà

da

dA

db

, d A dA e - +/ Tf

de

b dg

d A dh ’

d A' . d A' dA' . d A' d A' . d A’

a M +b dF + C Tc ;+f -df +8 ~d8'* dh

Si l’on fait varier le coefficient indéterminé X, l’équation U + XU' = o représentera une série de sections coniques, qui passeront évidemment toutes par les quatre points d’inter-

section des courbes U et U' (*). Mais on peut trouver, en résolvant par rapport à 1 l’équation D = o, trois valeurs de 1 qui rendent le discriminant D de U -+- ).U' égal à zéro, et pour chacune de ces trois valeurs la courbe U -t- ).U' se réduit à deux droites passant par les points d’intersection de U et U'. Les six lignes droites que l’on détermine ainsi sont donc les six cordes joignant deux à deux ces quatre points; on peut les comprendre dans une même équation du sixième degré, en éliminant A entre les équations D = o et U -t- = o, ce

qui donne pour l’équation des six cordes d’intersection

AU'*— 0L' , U -t- 0'U'L ! — A'U 3 = o.

Si l’on suppose maintenant que les sections coniques U et U' deviennent tangentes, deux des quatre points d’intersection se réduisant dans ce cas à un seul, il en est de même de deux des trois couples de droites, cl l’équation qui détermine ). doit admettre deux racines égales; son discriminant doit donc être nul, et l’on obtient ainsi la relation

(00'-9AA')’-4(0‘-3A0')(0'’-3A0) = o,

qui exprime en fonction des invariants la condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients de U et U' pour que les deux sections coniques soient tangentes.

188. Toutes les relations permanentes (c’est-à-dire indépendantes du choix des axes) qui peuvent exister entre deux courbes du second degré s’exprimeraient de même en fonction des quatre invariants A, A', 0, 0' ( ** ). On sait, par exemple, qu’étant données deux sections coniques prises arbilrairement dans un plan, il n’est généralement pas possible d’inscrire dans l’une d’elles un triangle qui soit en même temps circonscrit à l’autre; mais on peut, au contraire, en trouver une

(*) Nous nous servirons de cette locution abrégée pour désigner les courbes représentées par les équations U = o et U'= o.

(**) Voir, pour ces applications à la théorie des courbes du second degré, le Traité des Sections coniques de M. Salmon, Leçon XVIII.

infinité dès que les coefficients de U et U' satisfont à une certaine équation de condition, que nous allons établir.

Admettons qu’il existe un triangle remplissant les conditions précédentes; il est aisé de voir que U et U' peuvent, dans ce cas, être ramenées par une transformation linéaire convenable aux formes très-simples

U = x 7 -f- jr* -f- z- — 2 yz — 2 zx — 2 xy,

U' = 2 fyz -I- 2 gZX H- 2 II XJ';

car les trois droites représentées par les équations linéaires x o, j- =: o, z — o se couperont sur la courbe U' et seront tangentes à la courbe U. Les expressions des invariants se réduisent à

A = -4, 0=4 (f+g+à), <d' = -(f+g+h)\ A'=2 fgh, d’où l’on déduit immédiatement la relation demandée (*)

189. Passons aux eovariants et contrevariants du système des deux formes U et U'; si l’on développe le contrevariant g de U -t- XU' en remplaçant, dans G, a, b,... par a-+-X«', b -4- 'kb ',. . ., il vient

G et G' étant les contrevariants de U et U', et O un nouveau

(*) On remarquera que nous n’avons pas admis comme vraie en général la condition A •= — 1\. En effet un invariant ne reste pas absolument invariable lorsque l’on effectue la transformation, puisqu'il est alors multiplié par une puissance du module; une équation telle que A = — 4 ne P ci| t donc être vraie d'une manière générale, et la relation cherchée doit être homogène, de telle sorte qu’après la transformation tous ses termes se trouvent multipliés par une même puissance du module. On rétablirait l'homogénéité dans l’exemple précédent en remplaçant dans U, z par «r y \b, z ^c\ d’où

A = — t\abc } 0 = 4^ abc ( f g'/b -f- h ), 8' = —

204 quinzième leçon.

contrevarianl dont l’expression a déjà été donnée ( 101 ), savoir

<1> = ( bc' ■+■ b' c — ■+■ ( ca! -+- c' a — ’zgg')’^

-4- ( nb ' -ha' b — 2 hh') Ç 1

-+■ 2 ( gh' -hg'h — af — a'f) nÇ H- 2 ( hf -h A'/— bg' — b'g)Q

-+- » (fg‘ ’ g — ch' — c'h)%n.

L’équation $ = o exprime que la droite x£,+yn -h zï, est coupée harmoniquement par les deux sections coniques.

Formons de même le contrevarianl / de G + >.G', nous devrons obtenir un covariant, et il vient, en remarquant que le contrevarianl de G n’est autre que AU,