LEÇONS

1. Si l’on a n équations homogènes du premier degré entre n variables, on peut éliminer les variables et obtenir pour résultat une expression ne contenant plus que les coefficients : c’est ce que l’on appelle le déterminant de ces équations. Nous donnerons plus loin des règles pour la formation de ces déterminants, et nous établirons quelques-unes de leurs principales propriétés; mais la théorie générale nous paraît devoir être mieux comprise en donnant d’abord quelques exemples de ses applications aux cas les plus simples.

Commençons donc par deux équations entre deux variables:

On élimine les variables en ajoutant à la première équation multipliée par b, la seconde multipliée par — b,, et l’on obtient a,b, — a,b l =:o, équation dont le premier membre est le déterminant demandé. La notation ordinairement employée pour désigner ce déterminant est

mais nous écrirons souvent, pour abréger, (a, b,), en laissant au lecteur le soin de rétablir le terme négatif : il est clair qu’avec celte notation (a,è,) = — { a,b ,). Les coefficients

b,,..., qui entrent dans l'expression d'un déterminant, sont les éléments de ce déterminant; les produits a, 6 „. . . en sont les différents termes.

2 . On peut reconnaître immédiatement que le résultat eût été le même en éliminant les variables entre les équations

en d’autres termes,

c’est-à-dire que la valeur du déterminant n’est pas altérée en écrivant verticalement les lignes horizontales, et vice versâ.

3 . Si l’on a deux équations homogènes entre trois variables,

ces équations suflisent pour déterminer les rapports de x, y et z ; ainsi, en éliminant alternativement y et x, nous aurons x et y en fonction de z, et il vient

(a, b t )x — {a,bi)z, (a,b,)y = (a } b,)z;

en d’autres termes x, y, z sont respectivement proportionnels à (o,6 3 ), (oj6,), (o,6,); substituant ces valeurs dans les équations primitives, nous avons les identités

relations qui se vérifient immédiatement en remplaçant les déterminants par leurs expressions développées, par exemple

0,(0, 6, — 0,6,) -t- Oi(o 3 6, — o,6j) -t- o,(a,6, — 0,6,) = o.

La notation

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