Passons maintenant à un système de trois équations

multiplions la première par (a 7 b 3 ), la seconde par (a 3 b ,), la troisième par (a, b,), et faisons la somme; les coefficients de x et^ - s’évanouissent en vertu des identités du n° 3, et le déterminant demandé est

c,{a,b 3 ) -4- c,[a 3 b,) ■+■ c 3 {a t b 3 ), ou, en développant,

c,ajb, — c,a 3 b , -+- c 3 a 3 b, — -t- c 3 a,b , — c,a,b,;

on peut aussi l’écrire sous l’une ou l’autre des deux formes : ai[b,c,) -+- a,( b, Ci ) 4- «,( b t c 3 ), f>, («>«,) -4- b 3 (c 3 a, ) h- b 3 [c,a 3 ). Ce déterminant est représenté par la notation

o, b. Ci fl, b 3 Cj ,

fl, b 3 c,

nous le désignerons souvent, pour abréger, par (a.ftjf,).

Il est utile de remarquer que

(a J b,c,) = (a,b,c,), mais (a,b 3 c 3 ) = — («,6,c,).

En effet, d’après l’analogie des notations,

(fl, b t c, ) = a 3 [b 3 c,) -t- a, ( b, c , ) ■+■ a,(b,c 3 ), ce qui revient à {a,b 3 c 3 ); tandis que

{a,b 3 c,) = a,[b 3 c,) + a 3 {b,c,) -+- a,{b,c 3 ), ce qui revient à ~(a,b 3 c 3 ).

5. Nous aurions obtenu le même résultat en effectuant l’climinalion entre les trois équations ;

car, si l’on pfocède comme précédemment, en multipliant la première par ( b,c , ), la seconde par (e,a s ), la troisième par (rtifrj) et ajoutant, les coefficients de y et de z s’évanouissent et l’on obtient le déterminant sous la forme

a,{b,c,) -+- b i [r,a,) -4-c,(a,àj),

qui, développée, reproduit identiquement (a, à,Cj); d’où

a s b 7 c 7 Ci Ct Cj

c’est-à-dire que le déterminant n’est pas altéré en écrivant verticalement les lignes horizontales, et vice versû : propriété qui sera démontrée pour tout déterminant.