AU + ). F A' U

F étant un covariant dont l’expression se déduira de celle de <I>, en y remplaçant les coefficients a, b, c,. . a', b', c', ... de U

et U' par les coefficients correspondants «„ b„ c b\,

c',,. . . de G et G', et les variables £, •/?, t par x, y, z, ce qui donne

= [( ca — g 1 ) {a' b' — A' 1 ) + ( c' a' — g '* )(ab — h 1 )

— 2 { gh — af)(g'h’ — a'f' )]x'+

190. En égalant à zéro le discriminant des deux expressions/ et g considérées comme fonctions de 1, on obtient deux équations remarquables

<!>’ — 4 GG' = o, F 1 — 4AA'UU' = o,

dont nous allons rechercher l’interprétation géométrique.

Remarquons d’abord que ces deux équations sont simplement celles des enveloppes des deux séries de sections coniques que représenteraient, en y faisant varier X, les équations g = o et/ = o du numéro précédent.

La première série de ces courbes est représentée en coordonnées ordinaires par l’équation U-t-XU'=?o, et en coordonnées langentielles par l’équation correspondante g — o; elles passent toutes par les quatre points d’intersection des

sections coniques U et U'; leur enveloppe se réduit donc à ces quatre points, et la relation = 4 GG' est la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d’une droite ■+■ yw ■+■ z Ç pour qu’elle passe par l’un de ces points.

De même, les sections coniques représentées par l’équation f=o, ou par l’équation tangentielle correspondante # G = o ont toutes quatre tangentes communes; ce sont celles des courbes U et U'. Leur enveloppe se compose donc de ces quatre tangentes, dont l’équation sera F 1 = 4 AA' Uli'.

On peut noter que les huit points de contact se trouvent sur la section conique F.

191. Tous les covariants quadratiques des deux formes peuvent s’exprimer en fonction de F, U et U', et des invariants. Déterminons, par exemple, l’expression du covariant que l’on

obtient en remplaçant dans G' les variables £, yj, Z par^,