y'A [0 + /’(2 + / 3 )U> — l(i - 5l 3 ) UH + 3 MD] V

On trouvera de même celle de j' en fonction de s, t et /, (*).

197. M.Syl vester a montré que l'on peut obtenir à la fois les deux invariants S et T à l’aide d’une méthode qui mérite d’être mentionnée. On peut considérer des fonctions renfermant deux séries distinctes de variables x, y, z, £, r,, Ç, et rechercher leurs invariants, en admettant que les deux séries de variables sont transformées en même temps, non plus par des substitutions inverses, comme dans le cas des covariants mixtes, mais par une même substitution. Prenons pour exemple la fonction

ax\ 4- byn 4- czÇ 4- rfyï 4- d'z n 4- ez \ 4- e’ xÇ 4- fxi j 4- fy\,

qui se réduirait à une forme quadratique en identifiant les deux séries de variables. Il est aisé de voir qu’on aura un invariant en appliquant le symbole i?.3.i23', dans lequel, le premier facteur ia3 ayant la même signification qu’au n° 127, le second facteur ia3' désigne les mêmes opérations par rap-

(*) Toutes ccs fonctions aducttent île nombreuses interprétations géométriques {voir le Mémoire de M. Cayley sur les courbes du troisième ordre, Phi • losophical Transactions , p. /jiô; 1 85/ ).

port à £, vj, Ç : on obtient ainsi l’invariant

abc 4- def 4- d' e'f' — add' — bee — ej ff',

qui reproduit, ainsi que cela doit être, le discriminant de la forme quadratique ternaire lorsque l’on suppose identiques les deux séries de variables.

Nous nommerons/o/TJie biternaire une fonction renfermant, comme le covariant mixte a 12 du n° 195, deux séries de variables; désrgnons-la par

/£’ 4- mri’ 4- n'Q -I- 2 LyîÇ 4- îM 4 - 2 NÇ-/;,

/, m, n, L, M, N représentant, pour abréger, les six .formes quadratiques en x, y, z,

L = ( A, B, C, F, G, Hî*, r , z)\

L’application du >symbole 17.3 . ia3 nous fournira un invariant dont l’expression assez compliquée a été donnée par M. Cayley [Journal de Crelle, t. LYU). Cet invariant peut s’exprimer en fonction des invariants communs des six formes /, m, n, L, M, N, prises trois à trois. Si l’on désigne par I( Imn ) l’invariant des trois formes /, m, n donné au n° 192, celui de la forme biternaire est

l(lmn) 4 - 2 I (LMN) — 1( /LL) — I( mMM) — I(«NN),

expression qui présente quelque analogie avec celle du discriminant d’une forme quadratique ternaire.

Revenons à la forme cubique : en ajoutant au covariant mixte an’ la fonction (x£ 4 - yn ■+■ )’ multipliée pardon a

une forme biternaire

(X — i-’Ç’) 4- i{7,+ l i )(yi-nÇ,-\-zx'g,-\-xy%n )