Vy z + v*zx -+- Ç'xy) — il{x'rX, 4- r’S? 4- z'I'n

et, si l’on calcule son invariant par la formule ci-dessus, il vient, après réduction,

les coefficients de chaque puissance de X doivent être des invariants, et, en effet, celui de X est égal à i 2 Set le terme constant à T.

198. Relations entre les formes quadratiques et cubiques ternaires. — 11 existe, entre les formes que nous venons d’étudier, des relations intéressantes que nous allons faire connaître après avoir préalablement dit quelques mots d’une classe particulière d'invariants auxquels M. Sjlvester a donné le nom de combinants. Ces invariants jouissent de la propriété de rester constants, non-seulement quand on transforme les variables, mais encore quand on substitue aux fonctions primitives U, U', U" des fonctions linéaires de U, U', U" telles que

XU 4- uU' 4- vU" ( *).

Ainsi le résultant est un combinant, car il est clair que le résultant de U, U', U" et celui de

XU 4- ;aU' -+- vU", X' U 4- u' U' -+- v' U", X" U 4- «"U' -+- v" U" ne peuvent différer que par un facteur constant. De même aussi,

(*) Il suit de là qu’indépendamment des équations différentielles ordinaires auxquelles satisfont tous les invariants, il en existe d’autres spéciales auxquelles doivent aussi satisfaire les combinants. En effet, a , 6, c,.. , étant les coefficients de U, a’, b\ c \». . , ceux de U', etc., nous devons évidemment avoir

Un combinant se réduit à zéro si deux des formes deviennent identiques, et il est fonction des déterminants ( ab'c formés avec les différents groupes de coefficients correspondants.

2l6 quinzième leçon.

lorsque l’on développe comme au n u 192 le discriminant de

XU 4-j*U'4-vU",

on obtient une fonction du troisième degré en y, v dont les coefficients sont des invariants; si l’on considère cette fonction comme une forme cubique ternaire de y, v et que l’on calcule ses invariants dans cette hypothèse, les nouveaux invariants que l’on formera ainsi seront des combinants de U, U', U", puisqu’ils ne varieront pas lorsque l’on transformera y, v par une substitution linéaire.

199. Le résultant de trois formes quadratiques ternaires peut s’exprimer en fonction de deux combinants qui ne sont autres que les invariants 0 et 2 du n° 193. Le calcul direct serait presque impraticable si l’on ne mettait à profil la propriété fondamentale de ces invariants, en remplaçant les formes données par d’autres plus simples. 11 est clair d'abord que nous pouvons, sans altérer la relation cherchée, supposer deux des trois formes réduites à leurs formes canoniques x ' 4 y' -h z', ax' 4- by' 4 - cz puis, en éliminant alternativement y et x, leur substituer les formes plus simples x' — z 2 , y'— z 1 ; puis enfin, à l’aide de ces deux dernières, réduire la troisième à la forme

z 1 -4- 2 lyz -+- imzx -t- a nxy,

et, si nous trouvons sur ce système très-simple une relation entre le résultant K et les invariants 0 et 2, elle sera vraie en général.

L’élimination s’effectue facilement, et l’on trouve, pour la valeur du résultant,

lt=(l-t-2/-+-2ni+2«)(l4-2 / — mi — 2 n )

X(i — a/+î»i — 2«)(i — il — un -t- 2 n )

4- 16 ( 1 ‘ 4 ni' -t- n 1 — 2 m'n 2 — il' n ' — il' m ') 4 64 hnn.

En posam, pour abréger,

1 = l 7 m 7 -+- m- n 7 -+- n 7 l 7 — Imn, la valeur de K peut s’écrire sous la forme

équation semblable à la formule

qui donne le discriminant d'une forme cubique en fonction des deux invariants S et T.

En calculant ensuite la valeur des invariants 0 et 2 du n" 193, on reconnaît sans peine qu’ils sont identiques aux fonctions désignées ci-dessus par les mêmes lettres.

200. La relation précédente peut aussi se démontrer d'une manière assez simple en adoptant pour les trois formes ternaires la forme canonique

U = «x 2 -f- by 2 4- cz 2 -I- dv J ,

à laquelle il est possible de les ramener d’une infinité de manières (la somme x + y ■+ z -t- v est supposée égale à zéro).

Pour obtenir le résultant, nous n’avons qu’à tirer de ces trois équations les valeurs de x 7 , y 7 , z 7 , c 2 ; si l’on désigne, pour abréger, par A, B, C, 1), les quatre déterminants (cbd), ( dac ), ( ndb ), ( bca )( * ), x 7 , y 7 , z 7 , v 7 se trouvent proportionnels à A, B, C, I), et en substituant dans l’équation

(*) On sait que ces quatre déterminants sont liés par les relations identiques

A n -+-Bi + Ce+D</ = 0,

A a' -t- B&'-h Ce'-*- D d' — o,

il vient

ou, en faisant disparaître les radicaux,

— 2AB-2AC— 2AD-2BC — 2BD — aCD) s — 64 ABCD.

Le résultant se présente donc immédiatement sous la forme voulue, et il ne s’agit plus que de constater l’identité des deux parties de l’expression de R avec les invariants 0 et 2; en suivant la marche indiquée au n° 193, on a, pour le covariant J,

J = A yzv 4- B xzv + Cxyv -+- D xyz.

et, de même, pour le contrevarianl 4>, en remplaçant, comme au n° 151, vj, Ç par £ — 0, vj — 0, Ç — 0,

® = A(ïi-Ç)(Ç-5)(fl-5) + B(Ç-ui)(Ç-u)(fl-w)

+ C(Ç-Ç)(«-Ç)(fl-Ç) + D(Ç-fl)(»i-fl)(C-fl).

En opérant avec l’une des fonctions J et 4* sur l’autre, on obtient immédiatement la quantité

qui n’est autre que le premier terme de la valeur de R. Si l’on calcule ensuite les contrevariants linéaires, on a

Afli'-t-B6vj-t-CcÇ-4-D<i0,

Aa'X + Vb'v, -t- C c' Ç + D 0,

Aa"^-f- B6"n -4-Cc"Ç -t- DcP'0,

et leur résultant est bien Z = ABCD. Sous cette forme, on voit que cet invariant se réduit à zéro dès qu’un des quatre déterminants A, B, C, D devient nul, c’est-à-dire que l’on peut, lorsque 2 est nul, trouver des valeurs de X, p, v telles, que la somme XU -t- pü' -t- vU" se réduise à un carré parfait.

On voit aussi sans peine qu’en effectuant, dans les trois formes quadratiques U, U', U", la substitution

Æ=A(aX + «'Y + fl’Z),

X=B(b\-hb'Y + b"Z), î = C(cX + c'Y + c"Z),

et par suite aussi

e = D(rfX -+- d'Y d"l),

les transformées seront les dérivées d’une même forme cubique F ; dans ce cas le résultant R devient égal au discriminant A de F, tandis que 0 et I sont les invariants T et S’ de cette forme cubique.

L’interprétation géométrique des contrevariants linéaires se déduit de ce qui précède, en remarquant que les trois sections coniques représentées par les formes U, U', U" peuvent toujours être considérées comme les polaires de trois points relativement à une même courbe du troisième degré : ces trois points sont précisément la représentation géométrique des contrevariants linéaires.

201. Formes quadratiques . — La théorie des formes quadratiques à quatre variables présente la plus grande analogie avec celle des formes à trois variables que nous avons exposée dans la Leçon précédente. Nous représenterons la forme générale par l’expression

U = ax 1 -i- by 5 4- ci 1 -t- dv 1

-I- 2 lyz -l- imzx 4- 2 nxy -t- npxv -t- 2 qyv -+- 2 rzv,

elle a pour unique invariant le discriminant

a u ni j>

dont la valeur développée est

A — abcd + o.[alqr 4- hmpr 4- cnpq 4- dlnm )

— ( bcp- 4- caq- 4- abr 1 4- adl ! 4- bd ni' 1 4- cdn?)