p 1 4- ndq- 4- « J r’ — 2 ( mqnr 4- nrlp 4- Ipmq
Lorsque le discriminant est égal à zéro, on peut, par une transformation convenable, faire disparaître les coefficients d, p, q, r des quatre termes où figure la variable v, et la surface représentée par l’équation
est un cône dont la nouvelle origine est le sommet.
La forme U a un contrevariant qui est l’évectant de A, savoir
ou, en développant,
ex
ni
G — [bcd -+- irql — br 2 — cq 1 — dl 2 )x 2 .
-h 2 ( (iqr -4- dm n — adl -4- lp 2 — nrp — pmq ) j3y -4- • . . .
L’équation G=o est l’équa'ion tangentielle de la surface, c’est-à-dire qu’elle exprime la condition à laquelle doivent satisfaire a, <3, y, 6 pour que le plan ayant pour équation
ocx -4- (3/ -t- y z -4- oe = o
soit tangent à la surface; il est facile de s’en assurer en identifiant l’expression
ax -h (3/ -4- y z -l- 8 v
à l’équation générale d’un pian tangent et éliminant ensuite les coordonnées inconnues du point de contact.
202. On peut exprimer de même qu’une droite ayant pour équations
otx-hfiy-\-yz + $v=:o, t! x 4- (3 'y 4- y' z -4- ô’ v = o
est tangente à la surface; en éliminant deux des variables et écrivant la condition nécessaire pour que l’équation résultante ait des racines égales, on a, en effet,
2 (nb — n 2 ) (y3)’ -4- 2 2( mn — «/)( j3ô)(yô )
’ H- 2 2nr[( ad){ y{3) — («y)((3â)] = o,
les sommes 2 s’étendant à tous les termes semblables que l’on obtient par la permutation des coefficients, et les symboles (y<3), ((3o),. . . désignant, pour abréger, les déterminants yô' — y'd, j3â' — (3' ô, . . . . Cette fonction peut aussi s’écrire
sous forme de déterminant,
ni
C’est un contrevariant double du second degré par rapport aux coefficients et par rapport aux deux séries de variables.
On peut encore l’obtenir d'une autre manière. Remplaçons, dans le contrevariant G, a par a -4- Xa', (3 par (3 -4- X(3',. . ., et calculons le discriminant de la fonction du deuxième degré en X qui résulte de cette substitution; ce discriminant sera égal à AH. On le vérifie aisément sur la forme canonique
G = bcda 1 -t- acdfi 1 -+- abdy’ > -f- abco 5 ;
en effectuant la substitution, cette expression devient
G -4- 2 X( bcdcta! -t- acd (3(3' -f- abd yy' + abcoà') + G'X%
G' désignant une fonction semblable à G, dans laquelle a, [3, y, <5 sont remplacés par a', {3', y', 3'; le discriminant
GG' — ( bcdouz' -f- acd', 3|3' + ...)*
se réduit à abcd[cd(afiy -f- bd(ayy -t- . . .], c’est-à-dire à AH.
203. Recherchons maintenant les invariants et covariunts de deux formes U et U'. En développant le discriminant D de U ■+- XU', nous avons
A, A' étant ceux de U et G', et 0, <t>, 0' trois invariants communs dont la valeur se réduit, pour la forme canonique, à
0 a' bcd -f- ab‘ cd 4- abc'd -t- abcd',
$ = a! b' cd -ha'c'bd -4- a'd'bc -4- b' c ad -4- b' d' ac -t- c' d' ab, 0'= a'b'c'd + a! b' cd' -4- a bc' d' -t- ab' d d'.
De même que pour deux sections coniques (187), ia condition de contact des deux surfaces U et U' s’exprimera en égalant à zéro le discriminant de l’équation D = o. Le moyen le plus simple de le démontrer consiste à placer l’origine au point de contact, en prenant le plan tangent commun pour plan des x, y. On a alors pour les deux surfaces d — o, p = o, q = o, et l’équation D = o se réduit à
(r 4- Xr'} 3 [(« 4-Xra')* — (a 4- la')(b 4- ?./>')] = o;
elle aura donc dans tous les cas deux racines égales, et la condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients pour que les deux surfaces soient tangentes est
4(i2AA' — 300' 4-3 >’) j
— (72AA'$ 4 -(jQ 0 '<!> — 27 A 0 ' 3 — 27 A' 0 ’— 2$ 3 ) ! = o.
Cette relation est du douzième degré par rapport aux coefficients de chacune des deux formes.
204. Toutes les relations indépendantes du choix des axes qui peuvent exister entre deux surfaces du second degré s’exprimeront de même en fonction des cinq invariants A, A', 0, 0' et $. Si l’on demandait, par exemple, dans quel cas il est possible de déterminer un tétraèdre qui ait deux couples d’arêtes opposées sur la surface U et scs sommets sur la surface U', les équations des deux surfaces devant pouvoir se ramener dans ce cas à la forme
U = Lyz 4- Pxv,
U' = a lyz 4 - 2 mzx 4 - 1 nxy 4- zpxv 4 - iqyv 4- 2 rzv, les valeurs des invariants se réduisent à A = L’P 3 ,
0 = 2 LP ( Lyi 4- P/),
0’= i(lp — mq — nr)(Lp 4 - P/),
O — (Lp + P/) 3 4- 2 LP [Ip — mq — nr),
d’où l’on déduit immédiatement
aa4 SEIZIÈME LEÇON.
C’esl la condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients de U et U' pour que le problème admette une solution (*).
205. Pour déterminer des covariants et contrevarianls des deux formes U et U', nous suivrons la même marche qu’au n* 189, c’esl-à-dire que nous développerons les contrevarianls des deux fonctions U 4 - XU' et G 4 - XG\
Commençons par le contrevarianl g de U 4- XU', on trouve sans peine
<p et 9 ' étant- deux nouveaux contrevarianls dont l’expression est pour la forme canonique
9 = ( b' cd 4 - bc d 4 - bed' ) x 7 4 - ( n' cd 4- ae'd 4- acd' )
4 - (a' bd 4- ab' d 4- abd') y* 4 - (a' bc 4- ab'c 4- abc') S 1 ,
9 ' = (6c'<f'4- b' cd' 4 - b'c'd)a} 4 - (ac' d' 4- a'cd'-i-a'c'd) (3*
4- [ab'd' 4- a' bd - \-a'b'd ) y 7 4- [ab' c' 4- a’ bc' 4- a'b'c) b 7 .
Calculant de même le contrevarianl / de G 4 XG', nous devons avoir un covariant, et il vient
/= A’U 4- XAF 4- X’A'F' 4 - X 5 A' 3 U',
F et F' étant deux nouveaux covariants qui se réduisent, pour la forme canonique, à
F = aa! (bc' d' + b' cd.' 4- b' c' d)x 7
