GG7 = 4(? , -3G9')(9'»-3G

(FF'— 9 AA'ÜU / )»=4(F»— 3A'UF')(F' j — 3AU'F),

(*) On peut remarquer l’analogie île ce problème avec la question de géométrie plane traitée au n° 188 : Inscrire dans une section conique un triangle dont les trois côtés soient tangents à une autre section conique .

dont 1 interprétation géométrique' se déternrinèrà comme au n” 190.

La première est 1 ; équation langemielle de la courbe d’intersection des deux, surfaces Ü et U', la seconde est l’équation en coordonnées ordinaires de la surface développable circonscrite aux deux surfaces U et U'.

Les cDvariants des deux formes peuvent tous s’exprimer en fonction de U, U', ï, t', et de même, leurs contrevariants s’expriment. en fonction de œ,

206. Si dans le cofUievariant double H du n° 202 nous remplaçons a par n -\~ ï a \ b par b + lb' deviendra

II ét H' étant les. contrevariants des deux formes U et ü', et K un nouveau contrevenant commun. Pour la forme canonique,

H se réduit, ainsi que nous l’avons vu plus haut, à lab(yày, U' à la' b' (yby, ef l’on a pour K la valeur

K .... 1 ( aW -fi ba! ){■/§)>.

L’équation K =='q exprime que la droite aeà+Pji+fr-ï.fr, a'.« 4- P'j -t- y'z -f- ôV est coupée harmoniquement par les surfaces U et U'. En égalant à zéro le discriminant de h calculé par rapport à nous aurons une équation

K 1 — 4HH' = o,

>. âk ItLÆ' • * , • * . i \ ■*» « t

qui exprimera que la droite rencontre la courbe d’intersection commune de toutes les surfaces U ?.UV c'est-à-dire la courbe d’intersection des deux surfaces U et U'. En se reportant aux valeurs ci-dessus de H, H' et K, on trouvé sans peine, ■ pour la valeur de çe nouveau contrevariant,

k s — l{aby(yày -t- a^(fl6 , J(ncJ(yâ) î (j3ô) 1

-t- 2 1 [ ( ad ) ( çb ) -f- ( «c- ) ( db ) ) ( x°>)' ( yâ )».

207. En remplaçant dans ce contrevariant x, (3, y, ô ; jÿ , /,$

rfU

rfU' rfU' dV

, —rv» nous aurons un

dXJ dU dV

p3r ïte’ ty’ dz' dx' ’ rf/' ’ dzi dv covariant L qui donnera, en l’égalant à zéro, V équation de la surface développable engendrée par les tangentes à la courbe d’intersection des surfaces ü et U'. L’expression du covariant L est, pour la forme canonique,

l=:2(aby(cd)'z'v , + iHab)(ac){cdy{bdYy'z'v'

+ zx'y 1 z'v'[{ab)[cd) - (ad)(bt:)il{ad)[bc) — [bd){ca)]

K[[bd){ca) — (ab)(cd)}.

La surface L est du huitième degré; mais on peut remarquer qu’en faisant vx^o, l’expression ci-dessus se réduit à un carré parfait, c’esuà-diré que chacun des? quatre plans x, y, z, v coupe la surface suivant une courbe du quatrième degré.

Si l’on exprime L en fonction de U t U'., F, F' et des invariants, on a