Désignons par

Ci Cj C 3 c\

le système de déterminants que l’on obtient en omettant successivement chacune des colonnes : ces quatre déterminants sont liés par les relations .* t

b, (a,b,c,) — b 2 (a,b t c,) -+- àj(a,6,c,) — b,(a,b 1 c,) = o,

Ces relations peuvent être vérifiées en développant les déterminants, ou bien démontrées par une méthode analogue à

celle du n° 3. Prenons les trois équations

nous pouvons, comme au n° 5, éliminer^ et z en multipliant les équations par (è 3 e 3 ), (c,a,), (a 7 b 3 ) et ajoutant, ce qui donne

de même, en multipliant par (è 3 c,), (c,a,), (a 3 è,), il vient ( a,b s c t )y -t- ( a, b,c, )v = o, et de même encore

maintenant, en se reportant aux remarques faites sur les signes au n° 4, ces équations reviennent à

(a, b,c i )x~. — (flj6 3 c 4 )v,

c’est-à-dire que x, y, z c te sont respectivement proportionnels à (a 3 b 3 c l ), — (flj6,c,), (a,è,c 3 ), — (a,b,c 3 ), et substituant ces valeurs dans les équations primitives, on obtient les identités ci-dessus.

7. Si nous- avons maintenant à éliminer entre les quatre équations

(i 2 x -f- b 3 y* -f- c 3 z -+- d 3 v — o, ei,x -f- b 3 y -f- c 3 z -f- d 3 v = o, fl,r -+- b 3 y -t- c,z ■+■ d t v = o,

il suffit de les ajouter en multipliant la première par [a,b,c t ), la deuxième par — (a,è,c, ), la troisième par ( a t b,c ,), la qua- *\ trième par — (fl, b 3 c 3 ); les coefficients de x, y et z deviennent

identiquement nuis, et l’on a, pour le déterminant,

d,(a,b 3 c t ) — d,(a 3 b t c,) 4- d 3 (a,b l c 3 ) — d t (a,b 3 c 3 ), ou, en développant,

a,b 2 c 3 d t — a,b 3 c,d, -+- a 2 b 3 c,d 3 — a 2 b t c 3 d A -+- Oibtfjd, — a 3 b 2 c,d, -4- a,b A c,d 3 — a,b 3 c t d 3 -I- a, b 2 c\ d 3 — a, b, c 3 d 3 -ha 2 b,c 3 d 3 — a, b t c, d 3 4- a 3 b t c,d 2 — a,b,c A d, 4 - a 3 b l c 3 d 3 — a x b 3 c,d , a l b 3 c i d 7 — ci l b i c 3 d 3 4- tt 2 b A c 3 di — ct 2 b 3 c 3 d\

8. On peut sans aucune difficulté étendre à un nombre quelconque d’équations la méthode que nous venons d’employer. Le lecteur remarquera que l’expression générale d’un déterminant est 2 dh a i b,c 3 d l ..., dans laquelle chaque produit doit renfermer toutes les lettres et tous les indices, sans répétition ni omission : le déterminant contient tous les produits de cette nature qu’il est possible de former. Quant au signe dont chaque terme doit être affecté, la règle est la suivante. Nous donnerons le signe -I- au terme a, b,c 3 d t , . . . , que l’on obtient en lisant le déterminant de l’angle supérieur gauche à l’angle inférieur droit, et, cela étant admis, le signe de chaque produit sera 4ou — , suivant qu’il dérive de ce premier terme par un nombre pair ou impair de permutations des indices. Ainsi, dans le dernier exemple, le second terme a A b 3 c t d A ne diffère du premier que par la permutation des indices de b et de c : il a donc un signe contraire. Le troisième terme a 3 b 3 c,d, .diffère du second par la permutation des indices de a et de c : il a par suite un signe contraire, mais il a le même signe que le premier terme, puisqu’il peut en être dérivé en permutant deux fois les indices.

Exemple. — Quel est, dans le déterminant (a, b 2 c i d i e i ), le signe du terme u i b i c 2 d l e i ‘!

En permutant, dans le premier terme, les indices de a et de c, nous obtenons a i b 2 c l d i e i , produit dont le premier élément est le même que celui du terme donné; en permutant ensuite les indices do b et c, nous

avons a,b t c t rl t e v qui adeux éléments communs avec le terme donné; puis, permutant cet e, il vient n i b l c 1 d t e l \ et enfin, permutant r/et c, nous avons le terme donné a } b t c,d,e t . Donc, puisqu’il y a eu un nombre pair [i) de permutations, le signe du terme est +. En effet, les signes de la série de termes sont

9. Une permutation circulaire des indices altère le signe quand le nombre des termes du produit est pair : elle ne l’altère pas quand le nombre des termes est impair. Ainsi a,b„ se déduisant de a, b, par une seule permutation d’indices, a un signe contraire ; mais a,b 3 c , a le même signe que a,b,c t dont il dérive par une double permutation. Car, en échangeant les indices de a et de b, a,b 7 c 3 devient «,6,c„ qui, en échangeant ceux de b et c, devient a,b t c„ I)e même a,b 3 c,d< a un signe contraire à celui de a,b t c,d, dont il dérive par trois permutations, savoir : a t b,c,d„ a : è,c,iA, a^b^cA ,.

10. Nous pouvons maintenant substituer à notre première définition du déterminant une nouvelle définition qui deviendra la base des théories suivantes. En effet, puisque le déterminant est simplement une fonction des éléments a, b, c et ne contient pas les variables x, y, z, il est évidemment préférable d’en donner une définition qui ne fasse pas mention d’équations entre ces quantités x, y, z (**).

Soient donc n 1 quantités disposées en un carré de n colonnes

(*) En comparant les termes a t b t c t d t e„'a t b t c t d t r 4 , on voit que l'indice i, q«i se présentait le premier dans le premier terme, hü trouve dans le deuxième précédé de trois éléments; que l'indice a est précédé de deux éléments et l’indice \ d’un élément, qui ne venaient qu’après dans le terme primitif. Le nombre total des dérangements est donc de six. La règle des signes est quelquefois donnée sous cette forme : le signe de chaque terme est -t- ou — suivant que le nombre total des dérangements par rapport à l’ordre des indices dans le ternie primitif est pair ou impair.

(**) Nous aurions pu partir de cette définition du déterminant, les propositions précédentes n’étant pas nécessaires pour le développement scientifique de la théorie. Nous avons pensé cependant que ces éclaircissements rendraient la théorie générale plus facile à comprendre, et que l'importance de l'étude des déterminants ressortirait davantage, lorsque l’on aurait montré que toute éli-

verticales et n lignes horizontales, le déterminant de ces quantités est la somme de tous les produits possibles (affectés de signes convenables, comme on l’a expliqué au n° 8) que l'on peut former avec n éléments, en n’en prenant qu’un seul dans chaque colonne verticale el dans chaque ligne horizontale : ce déterminant est dit du n 1 '*"* ordre. Deux éléments sont conjugués lorsque chacun d’eux occupe, dans les lignes horizontales, la même position que l’autre dans les colonnes verticales. Lorsque les éléments conjugués sont égaux, le déterminant est symétrique. Exemple :

11. Dans le cours des premières Leçons, nous écrirons, comme nous l’avons fait dans les exemples précédents, tous les éléments d’une même ligne horizontale avec la même lettre, et tous ceux d’une même colonne verticale avec le même indice. Mais la notation la plus usitée consiste à donner à chaque élément un double indice, le premier indice désignant la ligne horizontale et le second la ligne verticale à laquelle il appartient. Le déterminant du troisième ordre s’écrirait ainsi :

ou encore

tfi.i Ai,* et i,a

ett, i et*, i eit g 3 )

Cti, i t Éïj,j

les indices devant, dans cette somme, être permutés de toutes les manières possibles. On modifie quelquefois la notation pré-

mination de variables entre un système d'équations du premier degré, et que toute solution d’un semblable système, donne naissance h des déterminants : les systèmes d'équations du premier degré se rencontrent constamment dans toutes les branches des Mathématiques pures et appliquées.

cédenle en omettant la lettre a, et le déterminant s’écrit alors

M. Sylvester a encore proposé une autre notation ( timbrai notation). Soit, par exemple, le déterminant

ax bx ex dx a [ 3 b [ 3 c| 3 d [ 3 ay b y cy dy a 6 b o câ dd

dont les éléments sont ax, b x, . ■ . ; a, b, c, . . . , n’étant pas des quantités, mais en quelque sorte des ombres ou apparences de quantités, c’est-à-dire que ces lettres n’ont pas de signification par elles-mêmes et n’en prennent que par leur combinaison avec celles de l'autre série a, (3, y, . . .; par exemple si a, (3, y, 3 représentent les indices i, 2 , 3, 4. les éléments, suivant la notation que nous avons adoptée, s’obtiendront en combinant l’une des lettres a, b, v, d avec l’un des indices 1 , 2 , 3, 4 . M. Sylvester écrit le déterminant sous une forme plus condensée :

qui indique la somme de tous les produits ax.bfi.cy .d$ que l’on peut obtenir en permutant les termes de la seconde ligne de toutes les manières possibles, et changeant les signes à chaque permutation suivant la règle ordinaire.

RÉDUCTION ET CALCUL DES DÉTERMINANTS

12. Nous avons, dans la dernière Leçon, fait connaître la règle de formation des déterminants et indiqué, sur des exemples particuliers, quelques-unes de leurs propriétés. Nous allons, dans celte seconde Leçon, démontrer d’une manière générale ces propriétés et quelques autres encore qui sont très-fréquemment employées pour la réduction et le calcul des déterminants.

La valeur d’un déterminant n’est pas altérée si l’on écrit horizontalement les colonnes verticales et vice versâ (2, 5). Cela découle immédiatement de la loi de formation (10) qui est parfaitement symétrique par rapport aux colonnes verticales et aux lignes horizontales. L’un des principaux avantages de la notation à indices doubles est de montrer clairement cette symétrie.

13. Si l’on permute deux lignes horizontales ou deux colonnes verticalés, le déterminant change de signe.

Car l’effet de ce changement est évidemment une simple permutation de deux lettres ou de deux indices, ce qui, d’après la loi de formation, donne lieu à un changement de signe.

li. Si deux lignes ou deux colonnes deviennent identiques, le déterminant se réduit à zéro.

En effet, si l’on permute ces deux lignes, on doit (13) avoir un changement de signe; mais la permutation de deux lignes identiques ne peut modifier en riqn la valeur du déterminant : celte valeur reste donc la même lorsque l’on change son signe, c’est-à-dire qu’elle est égale à zéro.

Ce théorème découle encore immédiatement de la défini-

RÉDUCTION ET CALCUL DES DÉTERMINANTS. t I

lion du déterminant comme résultant de l’élimination entre n équations linéaires. Car celte élimination s’opère en résolvant n — i équations par rapport aux variables et substituant dans la n iime les valeurs ainsi trouvées. Mais, si celte dernière est identique avec l’une des autres, elle doit devenir identiquement nulle lorsque l’on y substitue les valeurs des inconnues.

15. Si tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont multipliés par le même facteur, le déterminant est multiplié par ce facteur.

Cette propriété résulte immédiatement de ce que chaque terme dans le développement du déterminant contient comme facteur un élément appartenant à la même ligne ou à la même colonne et n’en contient qu'un.

Ainsi, par exemple, puisque chaque terme du déterminant

di b\ Ci fl? b 2 Ci «s l>. Cl

contient a, ou a, ou a„ le déterminant peut s’écrire sous la forme a, A, -t- «,A, -+- ft,A, (A„ A, et A, ne contenant aucun élément de la colonne des a), et si a„ a 2 et « 3 sont multipliés par un même facteur k, le déterminant sera multiplié par ce facteur.

Corollaire. — Si les éléments d’une ligne ou d’une colonne ne diffèrent que par un multiplicateur constant de ceux d’une autre ligne ou colonne, le déterminant se réduit à zéro. Ainsi

Il (Il

kc.

16. Si, dans un déterminant, on supprime un certain nombre de lignes horizontales et un même nombre de colonnes verticales, le déterminant formé avec celles qui subsistent est un déterminant mineur du déterminant donné.

Les mineurs obtenus par la suppression d’une ligne et d'une colonne sont dits du premier ordre, ceux que l’on obtient en effaçant deux lignes et deux colonnes sont dits du deuxième ordre, cl ainsi de suite.

Noas avons fait remarquer, dans le dernier numéro, que si les éléments d’une colonne sont a,, a„ le déterminant

peut s’écrire sous la forme «,A, -+- a. A, -4- a 3 A s -4-. . ., et il est évident que A, est le déterminant mineur obtenu par la suppression de la ligne et de la colonne qui contiennent a,,. . . . En effet, tous les termes du déterminant qui contiennent a , ne peuvent contenir aucun autre élément de la colonne ou de la ligne dont a, fait partie, et a, doit être multiplié par toutes les combinaisons possibles des produits de n — i éléments, pris dans les’autres lignes et colonnes, mais la réunion de ces produits forme précisément le déterminant A, (8). De même, le dé terminant primitif peut aussi s'écrire a. A, -t- 6, B, -4-c,C,,..., B, étant le mineur que l’on obtient en effaçant la ligne et la colonne qui contiennent è,

17. Si tous les éléments d'une ligne ou d’une colonne d’un déterminant du n iim ’ ordre viennent à s’annuler à l’exception d’un seul, le calcul de ce déterminant se réduit à celui d’un déterminant du ( n — i )'*”* ordre. En effet, il est évident que si a„ a„ . . . deviennent nuis, le déterminant a, A, -4- a, A, -+-... se réduit au seul terme a, A,, et A, est un déterminant ayant une ligne et une colonne de moins que le déterminant proposé.

18. Si tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne se décomposent en la somme de deux autres, le déterminant se décompose de même en une somme de deux déterminants.

Cette propriété découle du principe dont il a été fait usage au n° 16. Ainsi, dans l’exemple donné plus haut, si nous écrivons a, -4- a„ b, -t-(3„ c, -t-yi au lieu de a,,è,,c,, le déterminant devient

(a, -+- a, ) Ai -4- (6 t - 4 - p, ) B, + (t’i -i- y i )Ci

~ ( a ( Ai -4- b t B( -4- Ci Ci ) -4- (ofi Ai -i- (3i Bi -4- y , Ci ) -

RÉDUCTION ET CALCUL DES DÉTERMINANTS. l3

Nous avons donc

-t- oc,

De même, si les éléments d’une colonne étaient tous la somme d’un certain nombre d’autres termes, le déterminant se décomposerait en un pareil nombre d’autres déterminants.

19. Si, dans l’exemple précédent, les éléments de la seconde colonne étaient également la somme de deux autres (si, par exemple, on écrivait a, ■+- a„ b, -4- c a -+- y, à la place de 1 1 „ b„ c,), chacun des déterminants du deuxième membre de la dernière équation se résoudrait lui-même en une somme de deux autres, et l’on voit sans difficulté que

( a, •+- a,, è 3 -t- 1 3„ c 3 ) = (mi a Cj)-l-(fl,[3 a Cs) + («ièjC,)-t-(a,(3,c,).

Si chacun des éléments de la première colonne pouvait se résoudre en une somme de m autres, et chacun de ceux de la deuxième en une somme de n autres, le déterminant pourrait donc être décomposé en mn déterminants. Car on le décomposerait d’abord, comme dans le numéro précédent, en m autres, en prenant, au lieu de la première colonne, chacune des m colonnes partielles : chacun de ces déterminants se décomposerait ensuite en « auÿes en opérant de même sur la deuxième colonne. Et, en général, si chaque élément se compose de la somme d’un certain nombre de termes, de telle sorte que chaque colonne puisse se résoudre en une somme de colonnes partielles (la première en» colonnes, la deuxième en n, la troisième en p, etc.), le déterminant est égal à la somme de tous ceux que l’on peutfijrmer en prenant, au lieu de chaque colonne, l’une des colonnes partielles dont elle se compose, t le nombre de ces déterminants sera égal au produit mnp....

20. Si les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont respectivement égaux à la somme des éléments correspondants des autres lignes ou colonnes, multipliés respectivement par

des facteurs constants, le déterminant se réduit à zéro. Car, dans ce cas, il peut être décomposé en déterminants partiels qui s’annulent séparément. Ainsi

ha , 4- la,

ha.

la.

hb, 4- Ib,

hb.

lb.

kc , 4- le.

hc.

le,

mais ces deux derniers déterminants s’annulentfn” 15, coroll.).

21. Un déterminant ne change pas de valeur si l’on ajoute à chaque élément d’une ligne ou d’une colonne ceux des autres lignes ou colonnes multipliés respectivement par des facteurs constants. Ainsi

(l\ ha, -H ifl, fl, fl, b, + hb, + lb, b , b.

Ci 4- hc, -I- le, c, t'j

fli

ha, -h la,

hb, 4 - lb,

hc, 4- le.

mais le dernier déterminant se réduit à zéro (n°20) (*). Les exemples suivants montreront comment les principes que nous venons d’exposer peuvent servir à simplifier le calcul des déterminants.

Exemple I. — On demande de calculer la valeur du déterminant

Le second déterminant se déduit du prjn^er en retranchant des éléments des première, deuxième et troisième eolènnes, deux fois, trois fois et

(*) Les commençants auront soin de remarquer que, si le déterminant ne change pas de valeur en substituant dans la première ligne n,-+- Aa t -\- fa t à la place de a,,..., il n’en est plus de même lorsque l’on effectue à la place de la môme substitution dans la seconde ligne, car on multiplie alors le déterminant par A, et si on l’effectue dans la troisième, on le multiplie par /.

RÉDUCTION ET CALCUL DES DÉTERMINANTS

quatre fois les éléments correspondants de la dernière colonne. Le troisième déterminant dérive du deuxième en retranchant de môme la somme des trois premières colonnes de la dernière. Toutes les fois que nous avons, comme maintenant, un déterminant dans lequel tous les éléments d’une même ligne sont égaux, nous pouvons, par soustraction, en déduire un autre dans lequel tous ceux d'une même ligne s’annulent à l’exception d’un seul, et réduire ainsi le calcul à celui d’un déterminant d’ordre inférieur ( 17 ). Ainsi, retranchant la première colonne de chacune des trois autres, le dernier déterminant devient

Le troisième déterminant de celte série se déduit du précédent en retranchant de la première colonne le double de la dernière, et nous n’avons plus qu’un déterminant du deuxième ordre dont la valeur est — 8 — 7 = — i 5 .

Exemple II. — Calculer le déterminant suivant :

— io

= go(5i - 4 - 3g) = 8100 .

La première transformation ? opère en retranchant le double de la troisième ligne de la deuxième et ajoutant la somme de la deuxième et de la troisième à la quatrième. Remarquons ensuite que les deux termes a t b 2 c A et a, b 2 c 3 d A étant de signes contraires, et c, étant le seul élément de la quatrième colonne qui ne s’annule pas, le déterminant se réduit à — c i (a l b 7 d 3 ). Ajoutons ensuite la deuxième et la troisième colonne, dégageons le facteur 5 commun & la deuxième colonne et le signe — commun à la deuxième ligne

iG DEUXIÈME LEÇON.

horizontale; enfin retranchons la première ligne de la deuxième et huit fois la première de la troisième : le reste de l’opération est évident.

Exemple III.

Exemple IV.

Exemple V. — Etant données n quantités x, p, y. ... , trouver la valeur du déterminant

11 est évident (14) que ce déterminant se réduit à zéro si x.— p; par conséquent, il admet comme facteur « — p; il en est de même de toute autro différence entre les quantités x, Le déterminant est donc égal au

produit