FU — F'U
— 4 ( 0 1! U' — F' U — A U'*') ( 0' Ut” — FU' -
et, sous cette nouvelle forme, on voit immédiatement, qu indépendammènt de la courbe' d intersection commune aux trois surfaces U, U' et L, celte dernière rencontre encore la surface U suivant une courbe qui est l'intersection de U et d’une surface du quatrième degré représentée par l’équation
208. Considérons maintenant trois formes U, U', U". En développant le discriminant de XÜ 4 - /*U' -+- vtl", les coefficients des diverses puissances de X, f /., v fourniront des invariants du système de ce§ trois formes; mais il existe aussi deux combinants 1, et 1, qui méritent une mention spéciale. L’invariant I, se réduit à zéro lorsque quatre des huit points d intersection des surfaces U, U', U" se trouvent dans un même plan, ou, en d’autres termes, lorsqu’il est possible de iromer des valeurs de X, [>., v pour lesquelles la surface XU -t- pU' + vU" se réduise à deux plans. Prenons les équations des trois sur-
APPLICATIONS AUX FORMES QL’ATERNAIRBS. 227
faces sous la forme canonique
U = ax * 4 - by' -+- cz' ■+■ du' -+- eu',
U' == afx’A- b' y 1 -+■ c'z ■ -+- d'u' -+* eV,
dans laquelle nous supposons x -+- y ■+■ z -y u -+- e — o. L’invariant I|, analogue à l’invariant 2 du n° 200, sera le produit des dix déterminants (abc),... que l’on peut composer avec les trois séries de coefficients. En effet, en éliminant y et z, il est clair que l’équation
( abc ) x' -h ( dbc ) u‘ -+- ( ebc ) v' = o
représentera une surface du système U U' ■+- vU", qui se réduira à deux plans si l’un des déterminants (abc),.. . s’annule; l’invariant I, sera du dixième ordrc v par rapport aux coefficients de chacune des trois formes.
On obtiendra l’invariant I, en exprimant la condition qui doit être remplie pour que deux des points d’intersection des trois surfaces du second degré coïncident; cet invariant, qui se réduit à zéro dans ce cas, est du seizième ordre par rapport aux coefficients de èhacune des trois formes (*)i
Si l’on considère le discriminant de XU -+- /a U' -t- y U" comme fonction de 1, fx, v, et que l’on calcule son discriminant dans celte hypothèse, on aura un nouveau combinant I 3 du trentesixième ordre par rapport aux coefficients de chaque forme; mais il s’exprime en fonction des deux précédents, et sa valeur est ï 3 — IJ 1».
209. Le Jacobien J de quatre formes U, U', U", U'" représente le lieu des points dont les plans polaires par rapport aux quatre surfaces du second degré concourent en un même point : c’est également (201 ) le lieu des sommets de tous les
(*) V oir t pou»’ plus de développements, ta Géométrie analytique à trois dimensions de M. Sûlmon, chap. IX. M. Cnyley donne à l’invariant J, le nom de tact-invariant du système des trois formes; celui du h° 203 est l’invariant correspondant pour un système de deux formes.
cônes qui peuvent être représentés par la fonction
. XU + f*U' -t-vU'+irU".
Il résulte du mode de formation de la fonction J que, si l’une des formes U, U', U", U" se réduit à un carré L ! , le facteur L se trouvant dans toutes ses dérivées existera aussi dans le Jacobien, et la surface J se décomposera dans ce cas particulier en un plan et une surface de troisième degré.
210. Formes cubiques (*). — Nous adopterons pour l’étude de ces formes la forme canonique donnée par MM. Sylvester et Clebsch
ax 3 -4- by 3 -+- cz ’ -+■ du 3 -+• ev 3 ,
dans laquelle nous supposerons, comme d’habitude, la somme x+y+z+u+v égale à zéro. Les invariants fondamentaux s’exprimant plus simplement comme invariants du Hessien, nous allons d’abord calculer cette dernière fonction. On trouve aisément
H — bcdeyzvu -t- acdexzvu -+- abdexyvu ■+■ abcexyzv -+- abcdxySu. '
Nous écrirons, pour abréger, i
H = labcdxyzu,
le signe 2 s’appliquant aux diverses combinaisons des coeflicients. 11 en sera de même pour les invariants et covariants que nous allons énumérer plus loin.
Les invariants fondamentaux que nous désignerons par A, B, C, D, E sont des huitième, seizième, vingt-quatrième,
•(*) La théorie que nous allons exposer ici est 1’abrcgé d’un Mémoire de M. Salmon inséré dans les Philotophical Transactions , 1860. M. Clebsch a publié presque en môme temps deux Mémoires ( Journal de Crelle t t. LVIII) dans lesquels il obtenait de son côté quelques-uns des résultats de M. Salmon, notamment l'expression des invariants en fonction de cinq d'entre eux cl celle de la surface 0 — /jIH* qui contient les vingt-sept lignes droites (£1 G). Mais la méthode si simple de M. Salmon diffère complétepient de celle de M. Clebsch, et la découverte de l'invariant gauche F lui appartient en propre, ainsi que la discussion des covariants et des contrevariants. • ,
applications aux formes quaternaires. 229
trente-deuxième et quarantième ordres. L’invariant A a pour formule symbolique
Les expressions des autres invariants sont fort compliquées; mais elles se simplifient beaucoup si on les considère comme invariants du Hessien. M. Clebsch les présente sous la forme suivante :
D = (ia34 ) J (i a35 )’ (4678 )’( 5678 )%
E = ( 1 -234 ^ ( 1 256) 1 ( 34-78 )> ( 789 . io) j (5G9- 10)’;
les opérations indiquées par les symboles devant être effectuées sur la fonction II.
Les valeurs de ces invariants sont, pour la forme canonique que nous avons adoptée,
À = A 5 c' d 1 — 2 abcdelabc,
' B = « i ft’c , rf , e 3 2a,
G = a'b'c'd'e'î.abcd,
D = a , è 6 c 6 f/*c‘2aè,
Elles pourraient se calculer à l’aide des expressions précédentes, mais nQus les obtiendrons plus aisément par la différentiation successive des covariants et conlrevariants, comme nous le verrons plus loin (213).
211. Ainsi que l’on pouvait s’y attendre, les cinq coefficients a, b , c, d, e entrent d’une manière symétrique dans ces expressions, et si l’on pose
’2.a = p, ï.àb--q, üabc — r, labcdr- s, abcde = t, on a simplement
A=i J — 4cf, B = t 3 p, C — t's, D = E = /\
2ÎO SEIZIÈME LEÇON.
d'où l’on déduit immédiatement
